Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

411. Вычисление логарифмов.

В основе вычислений лежит ряд

которым мы уже пользовались в п° 406 [см. (20)] при выводе формулы Стирлинга. При получим разложение для

Этот ряд вполне пригоден для вычислений. Покажем, например, что, ограничиваясь лишь выписанными членами, можно найти с 9-ю правильными десятичными знаками.

В самом деле, если отбросить члены этого ряда, начиная с десятого, то соответствующая поправка будет:

Вычисления, на 10 знаков, сведены в таблицу:

Учитывая все поправки, имеем:

так что

и все написанные 9 знаков верны.

Полагая теперь в найдем:

Пользуясь уже вычисленным значением по этой формуле легко вычислить а затем и После этого, с произвольной степенью точности, может быть вычислен модуль

для перехода от натуральных логарифмов к десятичным; он равен Умножив на модуль, найдем десятичные логарифмы:

Перейдем к десятичным логарифмам и в основной формуле (1):

Полагая здесь и принимая во внимание, что найдем

откуда легко найти Полагая, далее, в формуле будем иметь

и

так что найдем и логарифм Подбирая подобные числовые комбинации, можно с произвольной степенью точности найти логарифмы простых чисел, а по ним путем умножения на натуральные множители и сложения найдутся логарифмы составных чисел.

Можно было бы поступить и иначе, непосредственно вычисляя логарифмы последовательных натуральных чисел и переходя от при помощи формулы (2). Так, для вычисления логарифмов чисел от 1000 до 10 000 возьмем в формуле (2) только один член, т. е. приближенно положим

Поправка при этом будет

Так как у нас , то

Если бы даже все ошибки суммировались, то в общем все же погрешность была бы меньше, чем Но легко избегнуть такого накопления погрешностей, вычислив целый ряд контрольных логарифмов по первому методу. Таким путем можно достигнуть гораздо большей точности, сохранив в то же время присущий второму методу автоматизм вычислений (который очень ценен, особенно при составлении обширных таблиц).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление