412. Вычисление корней.

Проще всего корни вычисляются с помощью таблицы логарифмов. Однако если отдельные корни нужны с большой точностью, то целесообразно прибегнуть к биномиальному ряду [407 (22)]:

Предположим, что нужно вычислить причем уже известно приближенное значение а этого корня (по недостатку или по избытку), но требуется его улучшить. Если, скажем,

где есть небольшая правильная дробь, то можно преобразовать корень следующим образом:

и использовать биномиальный ряд при Иногда выгоднее исходить из равенства к

если снова - небольшая правильная дробь, и прибегнуть к другому преобразованию:

после чего применить биномиальный ряд, взяв

Для примера, вычислим с большой точностью исходя из его приближенного значения 1,4. С этой целью преобразуем корень по одному из указанных двух образцов:

или

Для облегчения вычислений естественно предпочесть второй путь. Итак, имеем:

Ограничимся написанными членами; все они представляются конечными десятичными дробями:

Так как коэффициенты при степенях — убывают, то поправка может быть оценена, как обычно:

Поэтому

все десять знаков после запятой верны.

Использовав преобразование

легко получить значительно большее количество знаков. Приведем еще несколько примеров подобных преобразований (предоставляя вычисления с помощью биномиального ряда читателю):