412. Вычисление корней.
Проще всего корни вычисляются с помощью таблицы логарифмов. Однако если отдельные корни нужны с большой точностью, то целесообразно прибегнуть к биномиальному ряду [407 (22)]:
Предположим, что нужно вычислить
причем уже известно приближенное значение а этого корня (по недостатку или по избытку), но требуется его улучшить. Если, скажем,
где
есть небольшая правильная дробь, то можно преобразовать корень следующим образом:
и использовать биномиальный ряд при
Иногда выгоднее исходить из равенства к
если
снова - небольшая правильная дробь, и прибегнуть к другому преобразованию:
после чего применить биномиальный ряд, взяв
Для примера, вычислим с большой точностью
исходя из его приближенного значения 1,4. С этой целью преобразуем корень по одному из указанных двух образцов:
или
Для облегчения вычислений естественно предпочесть второй путь. Итак, имеем:
Ограничимся написанными членами; все они представляются конечными десятичными дробями:
Так как коэффициенты при степенях — убывают, то поправка может быть оценена, как обычно:
Поэтому
все десять знаков после запятой верны.
Использовав преобразование
легко получить значительно большее количество знаков. Приведем еще несколько примеров подобных преобразований (предоставляя вычисления с помощью биномиального ряда читателю):