Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

413. Преобразование рядов по Эйлеру.

При использовании ряда для приближенных вычислений иной раз оказывается выгодным предварительно подвергнуть его преобразованию. Так называется замена данного сходящегося ряда - по тому или иному правилу - другим рядом с той же суммой. Конечно, применять такое преобразование целесообразно лишь в том случае, если новый ряд быстрее сходится и удобнее для вычислений.

Выведем формулу для классического преобразования, носящего имя Эйлера. Пусть дан сходящийся ряд

где Мы лишь для удобства представляем коэффициент его под видом вовсе не предполагая все 0. Для варианты мы введем в рассмотрение последовательные разности (наподобие того, как сделали это в 122 по отношению к функции от непрерывно меняющегося аргумента х):

и, вообще,

Перепишем данный ряд так:

Это дозволительно, так как частичная сумма нового ряда разнится от аналогичной суммы ряда (3) лишь слагаемым стремящимся к 0 при ввиду сходимости исходного ряда Введем теперь разности для упрощения записи:

Сохраняя первый член остающийся ряд

перепишем, как и в форме

так что, если снова выделить первый член, имеем:

Продолжая поступать так и дальше, после шагов получим:

где

Обратимся к доказательству того, что при стремится к 0.

Заменив разность ее разложением (4) и переставив суммирования, получим

Если ввести обозначение для остатка исходного ряда (3), положив

то выражение для окончательно может быть написано в виде

и так как то в силу 391, 6°, и .

Переходя в (5) к пределу при найдем, что

Подставляя вместо его выражение (3), мы и придем к преобразованию Эйлера:

Чаще всего его применяют при тогда оно преобразует числовой ряд в числовой же:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление