Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

277. Примеры.

Приведем дальнейшие примеры на интегрирование рациональных функций.

Разложение на простые дроби здесь достигается путем незамысловатых преобразований:

Ответ:

Имеем

откуда следует тождество

Вместо того чтобы приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, можно поступить иначе. Положим в этом тождестве последовательно сразу получим (ибо всякий раз справа останется лишь одно слагаемое).

Ответ

Так как

то разложение ищем в виде

Из тождества

получаем систему уравнений

откуда

Таким образом,

Использовав формулу сложения для арктангенсов [50], можно этот результат представить и в такой форме:

Нужно заметить, однако, что это выражение годится лишь отдельно для промежутков ибо в точках оно теряет смысл. Постоянная С для этих промежутков, соответственно, равна

Скачкообразное изменение постоянной компенсирует разрывы самой функции при

Прибегнем к выделению рациональной части интеграла. Имеем

Таким образом,

причем мы заодно уже разлагаем на простые дроби то выражение, которое еще подлежит интегрированию (после выделения рациональной части интеграла). Тождество

приводит к системе уравнений:

откуда

Ответ:

Выделим рациональную часть интеграла. Имеем

Разложение ищем в виде

Из системы уравнений:

находим

Таким образом, здесь интеграл весь сводится к рациональной функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление