Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

414. Примеры.

1) Положим , где z - любое постоянное число, отличное от Ряд

если отбросить в нем достаточное число первых членов, окажется рядом «лейбни-цевского типа» и, следовательно, сходится.

Легко вычисляются последовательные разности и с помощью математической индукции находим:

в частности,

Таким образом, по формуле (7)

Если положить здесь то полнится преобразование известного ряда для

Читателю ясно, что вторым рядом для приближенного вычисления пользоваться гораздо выгоднее; чтобы получить точность в 0,01 в первом ряде потребовалось бы 99 членов, в то время как во втором достаточно было бы взять 5 членов!

2) Пусть отлично от Представив в виде: для выражения мы можем воспользоваться прежней формулой:

В этом случае преобразование Эйлера имеет вид:

В частности, при отсюда получается преобразование ряда Лейбница, выражающего

3) Для мы имели в 404 (в) разложение

Желая применить к этому общему ряду преобразование Эйлера, положим тогда для можно использовать формулу предыдущего примера

Кроме того, заменим в на и обе части равенства еще умножим на х. В результате получим:

4) Не следует думать, что эйлерово преобразование сходящегося ряда всегда приводит к улучшению сходимости. [При этом, сравнивая качество сходимости двух рядов с членами любых знаков, мы, как и в 375, 7), исходим из поведения отношения их соответственных остатков если — то первый ряд сходится быстрее, а второй - медленнее.]

Вот примеры:

а

5) При использовании преобразования ряда для вычислений часто бывает выгодно первые несколько членов ряда вычислить непосредственно и преобразованию подвергнуть лишь остаток ряда. Проиллюстрируем это на примере вычисления числа с помощью ряда, выведенного в 2):

Так как отношение последующего члена к предыдущему то отбрасываемый остаток ряда всегда будет меньше последнего вычисленного члена. Например, мы получим шесть верных цифр числа после запятой, вычислив 21 член написанного ряда, ибо 21-й член

Если же, скажем, первые семь членов исходного ряда вычислить непосредственно, и лишь остаток после члена преобразовать, мы получим

Здесь уже восьмой член ряда в скобках меньше требуемой границы:

и для достижения той же точности достаточно, кроме 7 сохраненных членов, вычислить еще 8 членов, т. е. всего 15, против прежних 21!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление