Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

415. Преобразование Куммера.

Мы видели, что преобразование Эйлера, основывающееся на точно сформулированном правиле, приводит к однозначному результату, правда не всегда выгодному [414, 4)]. Метод же преобразования рядов, предложенный Куммером, допускает большой произвол, многое предоставляя искусству вычислителя, но зато является более целеустремленным, в смысле облегчения приближенного вычисления. Мы ограничимся изложением

идеи, положенной в основу названного метода, и осветим его немногими примерами.

Пусть дан сходящийся ряд

и требуется вычислить его сумму с заданным приближением. Очевидно, при Выберем другую бесконечно малую эквивалентную так, чтобы ряд

не только сходился к конечной сумме но и чтобы эта сумма легко вычислялась. Если положить

то

и вычисление суммы исходного ряда приводится к вычислению суммы преобразованного ряда, члены которого заведомо быстрее стремятся к нулю.

Например, желая вычислить сумму ряда мы вспоминаем про ряд с суммой 1 [25, 9)] и отмечаем, что (при )

Так как разность

то

и преобразованный ряд оказывается более выгодным для вычисления.

Указанный процесс можно повторить и, взяв новую бесконечно малую эквивалентную так чтобы ряд

сходился к конечной и легко вычисляемой сумме мы сведем вычисление суммы исходного ряда, по формуле

к вычислению суммы последнего ряда, члены которого

стремятся к нулю быстрее, чем

Повторив процесс раз, придем к формуле

где

суть известные суммы последовательно выделяемых рядов, и сведем дело к вычислению суммы ряда

Так, в приведенном выше примере вычисления суммы ряда — можно пойти дальше:

так что

затем,

После шагов получим

При этом мы все время пользуемся уже известной нам формулой

[получающейся из выведенного в 363, 4) соотношения при а = 0].

Таким образом, вычисление суммы медленно сходящегося ряда — приводится к вычислению суммы его членов и суммы быстро сходящегося - уже при умеренных значениях - преобразованного ряда, Приведем еще один более сложный пример.

Обозначим через (р - натуральное) сумму ряда

При неопределенном пока у имеем

Отсюда видно, что (при

Если заменить члены ряда этими эквивалентными им разностями, то получится ряд с легко вычисляемой суммой

Дополнительный («преобразованный») ряд будет иметь общий член

Вот теперь мы воспользуемся произвольностью у и выберем его так, чтобы в числителе здесь исчез член, содержащий k:

Учитывая все сказанное, получаем для ряда такую формулу преобразования

Отсюда, подставляя вместо последовательно значения , имеем

Наконец, складывая почленно все эти равенства, придем к результату

Взяв, например, и сохранив в преобразованном ряде тоже 5 членов, можно вычислить сумму исходного ряда с точностью до

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление