Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

416. Преобразование Маркова.

Прием для преобразования данного сходящегося ряда (9)

указанный А. А. Марковым, также оставляет много произвола вычислителю. Разлагая каждый член каким-либо образом в сходящийся же ряд:

Из членов всех этих рядов составляется бесконечная прямоугольная матрица с двумя входами [ср. 393 (1)]

так что искомое число А оказывается попросту суммой повторного ряда

соответствующего этой матрице. Предполагая, далее, еще сходимость всех рядов по столбцам:

Марков устанавливает условие, необходимое и достаточное для того, чтобы ряд сходился к той же сумме А. Преобразование Маркова и состоит в замене одного повторного ряда другим

Достаточные условия для применимости преобразования Маркова даются, например, в теореме 3 п° 393. [Сама теорема Маркова, впрочем, значительно шире, ибо не предполагает даже упоминающиеся в ней ряды абсолютно сходящимися.]

Примером применения преобразования Маркова может служить соотношение (13) п° 395. Речь идет о ряде и его член представляется в виде суммы, на этот раз, конечного числа членов

Затем производится суммирование по столбцам, которое и приводит к упомянутому соотношению [см. 395, 4)].

Любопытно отметить, что, если воспользоваться разложением

то преобразование Маркова, как уже подчеркивалось в 395, 4), ничего нового не даст, ибо просто вернет нас к исходному ряду.

Можно построение матрицы (12) связать с повторным применением преобразования Куммера. Об этом уже была речь в предыдущем п° [см. (10)], но там процесс Куммера повторялся лишь конечное число раз, а здесь мы мыслим это повторение продолженным до бесконечности. При этом всякий раз надлежит лишь проверять стремление к нулю, при «дополнительного члена» формулы (10):

Для того, чтобы убедиться в этом, например, по отношению к (106), отметим, что фигурирующая в дополнительном члене сумма не превосходит выражения

так что весь дополнительный член не превосходит величины

и, очевидно, стремится к нулю при Переходя к пределу в (106), придем к равенству

которое, как нетрудно видеть, тождественно с равенством (13) п° 395.

Однако подобный предельный переход вовсе не всегда приводит к полезному результату: если, например, осуществить его в равенстве (10а), то получим просто тождество

Таким образом, прием, предложенный Марковым, дает очень общую схему, предоставляя вычислителю широкие возможности, но многого требуя от его искусства.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление