Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Суммирование расходящихся рядов

417. Введение.

До сих пор на всем протяжении настоящей главы заданному числовому ряду

в качестве его суммы мы приписывали предел ее частичной суммы

в предположении, что этот предел существует и конечен (или же равен бесконечности определенного знака). «Колеблющийся» расходящийся ряд для нас всегда оказывался лишенным суммы, и подобные ряды мы систематически из рассмотрения исключали.

Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость произведения двух сходящихся рядов [392], естественно выдвинули во второй половине прошлого века вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно, отличном от обычного. Некоторые методы такого «суммирования» оказались особенно плодотворными; ими мы займемся подробнее.

Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике. Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл. Так, колеблющемуся ряду

еще со времен Лейбница в качестве «суммы» приписывалось число у. Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения

(которое в действительности имеет место лишь для при подстановке вместо х единицы как раз и получается

В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем, из другого разложения (где - любые, но )

получить одновременно

Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение «обобщенной суммы» ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому классу таких рядов. Законность этого не может вызвать сомнения: читатель должен помнить, что даже обычное понятие «суммы ряда», сколь простым и естественным оно ни кажется, тоже было введено на основе условно принятого определения, оправдываемого лишь целесообразностью! Определение «обобщенной суммы» обычно подчиняется двум требованиям.

Во-первых, если ряду приписывается «обобщенная сумма» А, а ряду - «обобщенная сумма» В, то ряд , где - две произвольные постоянные, должен иметь в качестве «обобщенной суммы» число Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.

Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь «обобщенную сумму», и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать «сумму» в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об «обобщенном суммировании».

Мы переходим теперь непосредственно к рассмотрению двух особо важных с точки зрения приложений методов «обобщенного суммирования».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление