Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

418. Метод степенных рядов.

Это метод, в существенном, принадлежит Пуассону (S.-D. Poisson), который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.

По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд

если этот ряд для сходится и его сумма при имеет предел А:

то число А и называют «обобщенной (в смысле Пуассона) суммой» данного ряда.

Примеры. 1) Ряд, рассмотренный Эйлером:

здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого при стремится к пределу Значит, число действительно, является «обобщенной суммой» указанного ряда в точно установленном здесь смысле.

2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд

является расходящимся при всех значениях .

Действительно, если имеет вид , где - натуральные числа, то для значений кратных будет

так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби будем иметь, как известно,

откуда

Таким образом, для бесконечного множества значений

так что

Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд

(здесь буква заменяет прежнюю букву то его сумма при значении в, отличном от 0, будет

[см. 440 (5)] и при стремится к 0. Таким образом, для 00 «обобщенной суммой» ряда будет 0. Если , то ряд (2), очевидно, имеет сумму, равную впрочем, и выражение (3), которое в этом случае сводится к также имеет пределом

3) Аналогично ряд

который сходится лишь при или приводит к степенному ряду

[461, 6) (а)], так что «обощенная сумма» на этот раз оказывается равной в при и равной нулю при

Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод «обобщенного суммирования» является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой, принадлежащей Абелю:

Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для 1 сходится степенной ряд (1), и сумма его стремится к пределу А, когда

Прежде всего, ясно [379], что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество

(где ) [см. 385, 6) или 390, 4)]; вычтем его почленно из очевидного тождества

Полагая придем к тождеству

Так как 0, то по произвольно заданному найдется такой номер что лишь только

Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы

Вторая оценивается сразу и независимо от

Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости х к 1 будет

так что окончательно

что и доказывает утверждение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление