Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

419. Теорема Таубера.

Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами, из существования предела

вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (А), т. е. о существовании для него суммы А в обычном смысле.

Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером (A. Tauber); она гласит:

Пусть ряд (1) сходится при и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что

то и

Доказательство разобьем на две части. Сначала предположим, что

Если положить

то при величина монотонно убывая, стремится к нулю.

Имеем при любом натуральном

так что

Взяв произвольно малое число положим

так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим, чтобы 1) выполнялось неравенство и 2) соответствующее х было настолько близко к 1, что

Тогда

что и доказывает утверждение теоремы.

К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий случай. Положим

так что

и затем

Но из предположения теоремы, т. е. из того, что при легко получить что

Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:

и выбрать таким, чтобы во второй сумме все множители были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше каково бы ни было относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.

Таким образом, ввиду (7), (5) и (8) имеем

Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и

С другой стороны,

Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю

что и завершает доказательство теоремы.

Впоследствии различными авторами был установлен целый ряд теорем подобного типа (их принято называть «тауберовскими» теоремами), видоизменяющих и расширяющих условия Таубера. На них мы не будем останавливаться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление