Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро.

Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной «сумме» А, то необходимо

Действительно, из следует, что

а тогда и

что и требовалось доказать.

Поставленный в заголовке вопрос исчерпывается следующей теоремой, принадлежащей Фробениусу:

Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной «сумме» А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона - Абеля и притом к той же сумме.

Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда

для Выполнив дважды преобразование Абеля [см. 383 и особенно 385, 6)], последовательно получим

[при этом следует помнить, что . Известно, что или

Умножим обе части этого тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:

Сумму справа разобьем на две:

причем число выберем так, чтобы при было

где - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения х к 1. Этим и завершается доказательство [ср. с доказательством теоремы Абеля в 418].

Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом. Обратное же неверно: существуют ряды, суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие «обобщенной суммы» в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд

Так как здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, указанное вначале, то этот метод не приложим. В то же время ряд

имеет (при 1) сумму которая при стремится к пределу Это и есть «обобщенная сумма» нашего ряда по Пуассону-Абелю.

Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, т. е. приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление