Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

422. Теорема Харди - Ландау.

Как и в случае метода Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы «тауберов-ского» типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова.

Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона - Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если А и выполняется условие

то одновременно и . Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества

которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).

Харди (G. Н. Hardy) установил, что заключение от можно сделать не только, если (это содержится в предыдущем!), но и при более широком предположении, что

Ландау (Е. Landau) показал, что можно удовольствоваться даже «односторонним» - выполнением этого соотношения:

Если ряд (А) суммируется к сумме А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие

то одновременно и

[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:

В частности, теорема, очевидно, приложима к рядам с членами постоянного знака.]

Для доказательства рассмотрим сначала сумму

где - произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду

Если взять любое то, используя предположенное неравенство можно получить такую оценку снизу:

откуда, суммируя по , найдем

Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:

Станем теперь произвольно увеличивать до бесконечности, а изменение к подчиним требованию, чтобы отношение — стремилось к наперед заданному числу Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу так что для достаточно больших значений будет

Совершенно аналогично, рассматривая сумму

и проведя для оценку сверху:

придем к неравенству

Отсюда

Если и одновременно как и прежде на этот раз пусть правая часть этого неравенства стремится к пределу . Следовательно, для достаточно больших окажется

Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,

Теорема доказана.

Заметим, что подобная же «тауберовская» теорема была установлена затем и для суммирования по Пуассону-Абелю - для нее только что доказанная теорема является частным следствием. Но ввиду сложности доказательства мы его не приводим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление