Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов.

Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши [389]. Пусть, кроме ряда (А), дан еще ряд

тогда ряд

и называется произведением рядов (А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А и В, то ряд (С) все же может оказаться расходящимся [пример этого мы имели в 392].

Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона - Абеля и именно к сумме

Действительно, для ряд (1) равно как ряд

оба абсолютно сходятся [379]; обозначим их суммы, соответственно, через Произведение этих рядов, т. е. ряд

по классической теореме Коши [389] также сходится и имеет суммой произведение Эта сумма при стремится к ибо, как мы видели, по отдельности

Итак, «обобщенной (в смысле Пуассона - Абеля) суммой ряда (С) действительно будет что и требовалось доказать.

Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении рядов [392]. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) - вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле - лишь суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам А и В.

В таком случае, учитывая теорему Фробениуса [421], можно сделать и следующее утверждение: если ряды (А), (В) и (С) суммируемы в смысле Чезаро и имеют, соответственно, обобщенные суммы А, В и С, то необходимо

В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда

который получается из биномиального разложения

при Умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду

«обобщенная сумма» которого, как по методу Пуассона - Абеля, так и по методу Чезаро, есть .

Далее, «возведем в квадрат» и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд

«обобщенная сумма» которого в смысле Пуассона - Абеля есть (в смысле Чезаро он не суммируем!).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление