Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

278. Интегрирование выражений вида ... Примеры.

Выше мы научились интегрировать в конечном виде рациональные дифференциалы. В дальнейшем основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений будет разыскивание таких подстановок которые привели бы подинтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде в функции от Если при этом сама функция которую надлежит подставить вместо выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от х.

Назовем этот прием методом рационализации подинтегрального выражения.

В качестве первого примера его применения рассмотрим интеграл вида

где означает рациональную функцию от двух аргументов, - натуральное число, а - постоянные.

Положим

Интеграл перейдет в

здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как - рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилам предыдущего параграфа, к старой переменной вернемся, подставив .

К интегралу вида (1) сводятся и более общие интегралы

где все показатели рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от х и от радикала

Примеры.

Здесь дробно-линейная функция в частности, свелась просто к линейной функции. Полагаем тогда

где остается лишь подставить

Полагаем тогда

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление