Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

424. Другие методы обобщенного суммирования рядов.

1) Методы Г. Ф. Вороного. Пусть имеем положительную числовую последовательность и

Из частичных сумм ряда (А) составим выражения

Если при называется «обобщенной суммой ряда (А) в смысле Вороного - при заданном выборе последовательности

Линейность метода как в этом случае, так и в следующих - очевидна, и мы на ней не будем останавливаться.

Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно условие

Необходимость. Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из всегда следует и Если, в частности, взять ряд

для которого а прочие (так что и ), то необходимо

Достаточность. Предположим теперь условие теоремы выполненным и докажем, что из вытекает и

Обратимся к теореме Теплица [391] и заменим там на на

Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо

Выполнение условий очевидно, так как

Следовательно, как и требовалось доказать,

2) Обобщенные методы Чезаро. Мы уже знакомы [420] с методом средних арифметических; он является простейшим из бесконечной последовательности методов суммирования, предложенных Чезаро. Фиксируя натуральное число к, Чезаро вводит варианту

и ее предел при — рассматривает как «обобщенную сумму порядка) ряда (А). При мы возвращаемся к методу средних арифметических.

В дальнейшем нам не раз понадобится следующее соотношение между коэффициентами С:

оно легко доказывается по методу математической индукции относительно , если исходить из известного соотношения

Прежде всего, покажем, что методы Чезаро всех порядков являются частными случаями регулярных методов Вороного. Для этого достаточно положить ибо из (14) тогда следует, что и к тому же, очевидно,

С помощью того же равенства (14), пользуясь самим определением величин устанавливается, что

Это дает возможность выяснить взаимоотношение между суммированием по Чезаро порядка. Пусть ряд (А) допускает суммирование

порядка, так что В силу (14) и (15) имеем

Применяя сюда теорему Теплица [391], причем полагаем

придем к заключению, что и А. Таким образом, если ряд (А) допускает суммирование по методу Чезаро какого-нибудь порядка, то он допускает и суммирование любого высшего порядка, и притом к той же сумме.

Приведем теперь обобщение уже известной нам теоремы Фробениуса [421]: если ряд (А) суммируем по какому-либо из методов Чезаро (скажем порядка), то он суммируем к той же сумме и по методу Пуассона-Абеля.

Пусть дано, что

Легко заключить отсюда, что ряд

для сходится. Действительно, так как то из (16) имеем:

Если

так что, по теореме Коши - Адамара, радиус сходимости ряда (17) равен 1. Он во всяком случае не меньше 1, если

Рассмотрим теперь ряд тождеств

Выше мы установили сходимость последнего ряда в промежутке (-1, 1); отсюда вытекает [см. 390, 4)] сходимость и всех предшествующих рядов. Кроме того,

Сопоставим с этим тождеством другое:

которое имеет место в том же промежутке (-1, 1); оно получается -кратным дифференцированием прогрессии

Умножив обе части тождества (19) на А вычитая из него почленно равенство (18), получим, наконец,

Дальнейшие рассуждения [с учетом (16)!] вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема Абеля в 418 и теорема Фробениуса в 421; они могут быть представлены читателю. В результате мы и получим:

Отметим, что существуют расходящиеся ряды, суммируемые по методу Пуассона-Абеля, но не суммируемые ни одним из обобщенных методов Чезаро. Таким образом, первый из названных методов оказывается сильнее всех последних даже вместе взятых!

3) Методы Гельдера. Эти методы состоят просто в повторном применении метода средних арифметических. Все вопросы, относящиеся к их регулярности и взаимоотношению, исчерпываются ссылкой на теорему Коши.

Можно доказать, что -кратное применение метода средних арифметических совершенно равносильно применению метода Чезаро порядка, т. е. суммирует тот же класс рядов и притом к тем же суммам.

4) Метод Бореля. Он состоит в следующем: по ряду (А) и его частичным суммам строится выражение

Если последний ряд сходится, хотя бы для доспшточно больших значений х, и его сумма при имеет предел А, то это число и является обобщенной суммой в смысле Бореля для данного ряда (А).

Докажем регулярность метода Бореля. Допустим сходимость ряда (А) и обозначим его сумму через А, а остатки через Имеем (для достаточно больших

Зададимся произвольно малым числом найдется такой номер что для будет Представим последнее выражение в виде суммы,

Второе слагаемое по абсолютной величине каково бы ни было х, а первое, представляющее собой произведение на многочлен, целый относительно х, становится абсолютно — при достаточно больших х. Этим все доказано.

5) Метод Эйлера. Для ряда

мы имели в 413 [см. (7)] формулу

выражающую «преобразование Эйлера. При этом, как было доказано, из сходимости ряда в левой части уже вытекает сходимость ряда в правой части и равенство между их суммами.

Однако и при расходимости первого ряда второй ряд может оказаться сходящимся; в подобном случае его сумму Эйлер приписывал в качестве «обобщенной суммы» первому ряду. В этом собственно и состоит метод Эйлера суммирования рядов; сделанное только что замечание гарантирует регулярность метода.

Если писать рассматриваемый ряд в обычном виде (А), не выделяя знаков и вспомнить выражение (4) п° 413 для разности, то можно сказать, что по методу суммирования Эйлера в качестве «обобщенной суммы» ряда (А) берется обычная сумма ряда

(в предположении, что последний сходится).

На этом мы закончим обзор различных методов суммирования расходящихся рядов, так как и приведенных уже достаточно, чтобы создать у читателя впечатление о многообразии подходов к этому вопросу. Регулярность метода, как необходимую его особенность, мы устанавливали во всех случаях. К сожалению лишь, мы не всегда имели возможность достаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении различных методов. А между тем может случиться, что два метода имеют пересекающиеся (но не покрывающие одна другую) области приложимости; может оказаться и что два метода приписывают одному и тому же расходящемуся ряду различные «обобщенные суммы».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление