Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования.

Приведем в заключение некоторую весьма общую схему для построения класса линейных регулярных методов суммирования, содержащего в частности все методы, упоминавшиеся выше.

Пусть в некоторой области X изменения параметра х задана последовательность функций

Допустим, что область X имеет точкой сгущения число со, конечное или нет. По данному числовому ряду (А) строится ряд, состоящий из функций.

(где ). Если этот ряд, по крайней мере для х, достаточно близких к со, сходится и его сумма при стремится к пределу А, то это число и принимается за «обобщенную сумму» данного ряда.

Мы получаем, таким образом, некий метод суммирования рядов, связанный с выбором последовательности (Ф) и предельной точки . По самому построению метода ясна его линейность. Предположим теперь, что функции удовлетворяют следующим трем требованиям:

(а) при любом постоянном

(б) при значениях х, достаточно близких к со,

(в) наконец,

Тогда метод суммирования оказывается регулярным.

Доказательство. Итак, пусть

Тогда по произвольно заданному найдется такой номер что для будет

Ввиду ограниченности и абсолютной сходимости ряда по крайней мере для будет сходиться также и ряд При этом, очевидно,

так что, переходя к абсолютным величинам,

Второе слагаемое справа в силу (23) и условия Что касается первого и третьего слагаемого, то каждое из них можно сделать приблизив достаточно х к , в силу условия (а) и условия (в). Следовательно,

т. е. «обобщенная сумма» оказывается существующей и равна обычной сумме.

Если х есть натуральный параметр (так что ), то последовательность функций (Ф) заменяется бесконечной прямоугольной матрицей:

За «обобщенную сумму» ряда (А) принимается предел при варианты

в предположении, что этот ряд сходится, по крайней мере для достаточно больших значений т.

Условия регулярности преобразуются для этого случая следующим образом:

(а) при любом постоянном

(б) при достаточно больших

(в) наконец,

По существу все эти идеи принадлежат Теплицу которого лишь, как читатель помнит, матрица предполагалась треугольной. Этого частного случая нам по большей части и было достаточно. Упомянем еще, что под упомянутую выше схему непосредственно подходит как суммирование по Пуассону - Абелю, так и суммирование по Борелю. В первом случае имеем

так что роль в области играет множитель Во втором же случае . Соблюдение условий (а), (б), (в) легко проверяется, и тем - на основании доказанной выше общей теоремы - снова устанавливается регулярность этих методов.

Общее определение метода суммирования, данное выше, и теорему об его регулярности легко перефразировать так, чтобы в них участвовали не частичные суммы , а непосредственно члены суммируемого ряда (А). Останавливаться на этом не будем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление