Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

§ 1. Равномерная сходимость

427. Вводные замечания.

Мы изучали выше бесконечные последовательности и их пределы, бесконечные ряды и их суммы; элементами этих последовательностей или членами рядов были постоянные числа. Правда, иной раз в их состав и входили, в роли параметров, те или иные переменные величины, но во время исследования им неизменно приписывались определенные постоянные значения. Так, например, когда мы устанавливали, что последовательность

имеет пределом или что ряд

имеет суммой для нас было числом постоянным. Функциональная природа элементов последовательности и ее предела или членов ряда и его суммы - нами вовсе не учитывалась; сейчас же именно к этому моменту будет привлечено наше внимание.

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются функции

от одной и той же переменной определенные в некоторой области ее изменения Пусть для каждого х из X эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также представляет собой функцию от (в X):

которую мы будем называть предельной функцией для последовательности (1) [или для функции

Теперь мы будем интересоваться не одним лишь существованием предела при каждом отдельном значении х, но функциональными свойствами предельной функции. Чтобы читатель уяснил себе наперед, какого характера новые задачи при этом возникают, упомянем для примера об одной из них.

Допустим, что элементы последовательности (1) все суть непрерывные функции от х в некотором промежутке гарантирует ли это непрерывность предельной функции Как видно из следующих примеров, свойство непрерывности иногда переносится и на предельную функцию, иногда же нет.

Примеры. Во всех случаях

Естественно возникает задача - установить условия, при которых предельная функция сохраняет непрерывность; этим мы займемся в 431 (и 432).

Мы уже видели [362], что рассмотрение числового ряда и его суммы есть лишь другая форма исследования последовательности чисел и ее предела. Рассмотрим теперь ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной х в некоторой области X:

Пусть этот ряд сходится при каждом значении х в X; тогда его сумма также представит собой некоторую функцию от Эта сумма определится предельным равенством вида (2), если под разуметь частичную сумму

Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной последовательности (1) можно рассматривать под видом суммирования ряда (3), если положить

Нам чаще придется иметь дело именно с функциональными рядами, так как эта форма исследования предельной функции на практике обычно удобнее.

И здесь также следует подчеркнуть, что предметом наших ближайших исследований будут не одни лишь вопросы сходимости ряда (3), но функциональные свойства его суммы. В виде примера можно назвать вопрос о непрерывности суммы ряда, в предположении непрерывности всех его членов; это - та же задача, которая уже упоминалась выше.

Как оказывается, функциональные свойства предельной функции (или - что то же - суммы ряда) существенно зависят от самого характера приближения при различных значениях Изучением типических возможностей, которые здесь представляются, мы займемся в следующем п°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление