Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

428. Равномерная и неравномерная сходимости.

Допустим, что для всех имеет место равенство (2). По самому определению предела это значит следующее: лишь только фиксировано значение (для того чтобы иметь дело с определенной числовой последовательностью), по любому заданному найдется такой номер что для всех выполняется неравенство

где под х разумеется именно то значение, которое было заранее фиксировано.

Если взять другое значение х, то получится другая числовая последовательность, и - при том же - найденный номер может оказаться уже непригодным; тогда его пришлось бы заменить большим. Но х принимает бесконечное множество значений, так что пред нами бесконечное же множество различных числовых последовательностей, сходящихся к пределу. Для каждой из них в отдельности найдется свое возникает вопрос: существует ли такой номер который (при заданном ) способен был бы обслужить сразу все эти последовательности?

Покажем на примерах, что в одних случаях такой номер существует, а в других - его нет.

1) Пусть сначала

Так как здесь

то сразу ясно, что для осуществления неравенства достаточно, каково бы ни было х, взять Таким образом, например, число этом случае годится одновременно для всех х.

2) Положим теперь [427, 3)]:

Для любого фиксированного достаточно взять чтобы было: Но, с другой стороны, сколь большим ни взять для функции в промежутке [0, 1] всегда найдется точка, именно точка в которой ее значение равно Таким образом, за счет увеличения сделать для всех значений х от 0 до 1 зараз - никак нельзя. Иными словами, уже для существует номера которое годилось бы для всех х одновременно.

Рис. 59.

На рис. 59 изображены графики этих функций, отвечающие характерен горб высоты передвигающиися с возрастанием справа налево. Хотя по каждой вертикали, в отдельности взятой, точки последовательных кривых с возрастанием бесконечно приближаются к оси но ни одна кривая в целом не примыкает к этой оси на всем протяжении от до

Иначе обстоит дело с функциями, рассмотренными на первом месте; мы не приводим их графиков, ибо они, например при или получаются из графиков, изображенных на рис. 59, путем уменьшения всех ординат, соответственно, в 4 или в 40 раз. В этом случае кривые сразу на всем своем протяжении примыкают к оси Дадим теперь основное определение:

Если 1) последовательность (1) имеет в X предельную функцию и 2) для каждого числа существует такой не зависящий от х номер что при неравенство (5) выполняется сразу для всех х из X, то говорят, что последовательность (1) сходится [или - функция стремится] к функции равномерно относительно х в области X.

Таким образом, в первом из приведенных примеров функция стремится к нулю равномерно относительно х в промежутке [0, 1], а во втором - нет.

Нужно сказать, что и для прочих функций, рассмотренных в предыдущем п°, сходимость не будет равномерной. Установим это.

3) Для функции невозможность неравенства сразу для всех 1 видна хотя бы из того, что если (при фиксированном и) . Рис. 60 дает представление о своеобразном характере нарушения равномерности: здесь предельная функция изменяется скачком, а горб неподвижен.

Пусть теперь

Рис. 60.

Невозможность равномерного приближения в [0, 1] к предельной функции, которая для в обоих случаях равна 0, следует из того, что, соответственно

или

Во втором случае высота горбов, которые мешают равномерному стремлению к 0, вдобавок еще бесконечно возрастает.

Покажем на примерах функций и — еще другой путь для исследования вопроса. Неравенства

равносильны, соответственно, таким:

Так как выражения справа неограниченно возрастают, первое - при приближении к 1, а второе - при приближении к 0, то ясно, что никакой номер сразу при всех значениях х этим неравенствам удовлетворить не может.

Перенесем теперь все сказанное выше о сходимости функций на случай функционального ряда (3).

Предполагая ряд сходящимся, введем в рассмотрение его сумму частичную сумму [см. (4)] и, наконец, его остаток после члена

При любом фиксированном x

Если частичная сумма стремится к сумме ряда равномерно относительно х в области X [или, что то же, остаток ряда равномерно стремится к 0], то говорят, что ряд (3) равномерно сходится в этой области.

Это определение, очевидно, равносильно следующему:

Ряд (3), сходящийся для всех х из области X, называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа существует такой независящий от х номер что при неравенство

выполняется одновременно для всех х из X.

Примеры равномерно и неравномерно сходящихся рядов, конечно, можно составить, преобразовав приведенные выше примеры последовательностей. Мы присоединим к ним еще несколько новых примеров.

6) Рассмотрим прогрессию она сходится в открытом промежутке Для любого X из X остаток после члена имеет вид:

Если произвольно фиксировать, то очевидно:

И то, и другое доказывает, что осуществить для всех х одновременно неравенство

при одном и том же номере невозможно. Сходимость прогрессии в промежутке неравномерна; это же относится к промежуткам и [0, 1) по отдельности.

7) Ряд — при любом значении х из сходится, ибо он удовлетворяет условиям теоремы Лейбница [381]. По замечанию,

сделанному после доказательства теоремы, остаток ряда оценивается, по абсолютной величине, своим первым членом:

Отсюда ясно, что во всем бесконечном промежутке ряд сходится равномерно.

8) Аналогично, и ряд сходится равномерно ибо при

Любопытно отметить, что ряд, составленный из абсолютных величин хотя и сходится, но неравномерно. Действительно, его остаток, при таков:

при любом фиксированном он стремится к 1, когда

Замечание. Если в примере 2), вместо промежутка [0, 1], рассмотреть любой промежуток где то в нем сходимость уже будет равномерной. Действительно, для всех

В любом же промежутке [0, а] сходимость, очевидно, неравномерна. Таким образом, вокруг точки как бы «сгущается» свойство неравномерности; назовем ее точкой неравномерности. То же относится и к примерам 4), 5) и 8). Аналогичную роль в примере 3) играет точка а в примере 6) - обе точки

В более сложных случаях точки неравномерности могут встречаться в бесконечном количестве.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление