Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

429. Условие равномерной сходимости.

Теорема Больцано-Коши [39], устанавливающая условие существования конечного предела для заданной числовой последовательности («принцип сходимости»), естественно приводит к следующему условию равномерной сходимости для заданной в области X последовательности функций (1): Для того чтобы последовательность (1) 1) имела предельную функцию и 2) сходилась к этой функции равномерно относительно х в области X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовал такой не зависящий от х номер чтобы

при и любом неравенство

имело место для всех х из X одновременно.

[Требование это можно кратко сформулировать так: принцип сходимости для последовательности (1) должен осуществляться равномерно для всех из X.]

Доказательство. Необходимость. Если последовательность (1) имеет предельную функцию и сходится к ней равномерно в X, то по заданному найдется не зависящий от номер такой, что при будет

для всех х. Аналогично и

а из этих обоих неравенств вытекает (7).

Достаточность. Пусть условие, указанное в теореме, выполнено. Тогда, какое бы значение х из X ни фиксировать, в лице последовательности (1) мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Больцано-Коши. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, чем доказано существование для последовательности (1) предельной функции

Теперь, взяв по произволу из X, станем в неравенстве (7) безгранично увеличивать (при постоянных Переходя к пределу, получим:

Этим устанавливается равномерное стремление

Нетрудно перефразировать доказанное условие для случая функционального ряда:

Для того чтобы ряд (3) сходился равномерно в области X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовал такой не зависящий от х номер что при и любом неравенство

имеет место для всех х из X одновременно.

Отсюда, в частности, вытекает полезное следствие:

Если все члены ряда (3), равномерно сходящегося в области X, умножить на одну и ту же функцию ограниченную в X:

то равномерная сходимость сохранится.

Для установления на практике равномерной сходимости конкретных последовательностей или рядов выведенные условия мало пригодны. С этой целью пользуются - на них же основанными, но более удобными в применении - достаточными признаками, которые формулируются обычно применительно к рядам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление