Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

430. Признаки равномерной сходимости рядов.

Вот простейший и чаще всего применяемый признак:

Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (3) удовлетворяют в области X неравенствам

где суть члены некоторого сходящегося числового ряда

то ряд (3) сходится в X равномерно.

При наличии неравенства (9) говорят, что ряд (3) мажорируется рядом (С), или что (С) служит мажорантным рядом для (3).

Действительно, из (9) получаем неравенство

справедливое одновременно для всех из области X. Согласно принципу сходимости, который мы применяем к числовому ряду (С), для любого найдется такое что при правая часть предыдущего неравенства будет уже меньше , а с нею - и левая, притом для всех одновременно. Этим, по условию п° 429, наше утверждение доказано.

Таким образом, например, в любом промежутке равномерно сходятся ряды

если только ряд сходится абсолютно. Ведь

так что роль мажорантного здесь играет ряд

Замечание. Каждый равномерно сходящийся в X ряд путем расстановки скобок может быть преобразован в ряд, к которому уже применим признак Вейерштрасса.

Действительно, возьмем какой-нибудь положительный сходящийся ряд . По числу найдется такой номер ту, что в X для . Затем, по числу найдется такой номер что в X для Тогда, группируя члены данного ряда следующим образом:

получим ряд, члены которого - начиная со второго - по абсолютной величине не превосходят в X последовательных членов взятого числового ряда.

Если к данному ряду (3) признак Вейерштрасса оказался применим, то ряд (3) необходимо абсолютно сходящийся. Больше того, одновременно с рядом (3) будет равномерно сходиться и ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Между тем возможны случаи, когда ряд (3) сходится равномерно, будучи неабсолютно сходящимся. Примером этого служит ряд 7) п° 428 (что ряд этот не сходится абсолютно, следует из сравнения с гармоническим рядом). Возможно даже такое положение вещей, когда ряд (3) сходится абсолютно и равномерно, но ряд (10) все же сходится неравномерно [см. ряд 8) в 428]. Подобные случаи заведомо не охватываются признаком Вейерштрасса; для их исследования нужны более тонкие признаки.

Сейчас мы установим два признака, относящихся к функциональным рядам вида:

где суть функции от х в X. Мы скопируем эти признаки с признаков Абеля и Дирихле [384] из теории числовых рядов; условно будем называть и их по именам этих ученых.

Признак Абеля. Пусть ряд

сходится равномерно в области X, а функции (при каждом образуют монотонную последовательность и в совокупности - при любых - ограничены:

Тогда ряд сходится равномерно в области X.

Доказательство аналогично прежнему. Ввиду равномерной сходимости ряда (В) номер находится независимо от х, с ссылкой на условие п° 429 (вместо принципа сходимости), а затем с помощью леммы Абеля [383] получаем, как и выше (считая

сразу для всех х из Этим наше утверждение доказано.

Признак Дирихле. Пусть частичные суммы ряда (В) в совокупности - при любых - ограничены:

а функции (при каждом х) образуют монотонную последовательность, которая сходится к 0 равномерно в области X. Тогда и ряд сходится равномерно в этой области.

И здесь доказательство проводится так же, как и в 384. Отметим лишь, что номер можно выбрать независимо от х именно ввиду равномерного стремления к 0.

На практике часто на месте функциональной последовательности оказывается обыкновенная числовая последовательность или на месте функционального ряда - обыкновенный числовой ряд Нужно заметить, что этот случай, конечно, входит как частный в рассмотренный выше; ведь сходящуюся последовательность и сходящийся ряд можно рассматривать как равномерно сходящиеся (зависимости от х нет).

Например, если есть последовательность положительных чисел, монотонно стремящихся к 0, то оба ряда

- по признаку Дирихле - равномерно сходятся в любом замкнутом промежутке, не содержащем точек вида Это следует из того, что, например [см. 385, 2)],

и в названном промежутке не обращается в 0, так что для суммы можно установить границу, не зависящую и от х.

Дальнейшие примеры применения признаков равномерной сходимости читатель найдет в п° 439 и следующих.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление