Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

432. Замечание о квази-равномерной сходимости.

Итак, если функциональный ряд (3) состоит из непрерывных в промежутке функций и сходится в этом промежутке к сумме то для непрерывности этой последней достаточна

равномерная сходимость ряда, но - в общем случае - вовсе не необходима. Было замечено еще Дини и другими, что достаточным условием является некая «ослабленная» равномерность сходимости: она состоит в том, что для каждого числа и каждого номера существует хоть один не зависящий от х номер такой, что неравенство (6) выполняется одновременно для всех х из X. Действительно, при доказательстве теоремы 1 мы и использовали лишь один номер при котором неравенство (13) выполняется для всех из X.

Однако даже эта «ослабленная» равномерность все же не является необходимой для непрерывности суммы ряда (3). Она не имеет места, например, для рядов сходящихся к непрерывной сумме

Арцела ввел в рассмотрение в 1883 г. особый тип сходимости (впоследствии получивший название квазиравномерной сходимости), который решает вопрос о точной характеристике сходимости ряда, обеспечивающей непрерывность его суммы.

Про ряд (3), сходящийся в промежутке говорят, что он сходится квазиравномерно в X к сумме если для каждого числа и каждого номера промежуток X может быть покрыт к о не числом открытых промежутков

и им в соответствие могут быть поставлены к номеров

так, что для всех значений х (из X), содержащихся в , неравенство

выполняется одновременно.

При упомянутой выше «ослабленной» равномерной сходимости всем значениям х из X ставился в соответствие один и тот же номер а здесь все х разбиваются на группы, которым в соответствие ставятся разные значения но всякий раз - в конечном числе.

Пользуясь этим понятием, Арцела установил следующее предложение:

Теорема 3. Пусть функции определены и непрерывны в промежутке и ряд (3) сходится в этом промежутке. Для того чтобы сумма ряда также была непрерывна в X, необходимо и достаточно, чтобы ряд сходился в X к квазиравномерно.

Необходимость. Предположим сначала непрерывность функции а значит и всех остатков Возьмем в X любую точку По заданным числам в и для нее найдется такой номер что

По непрерывности функции подобное же неравенство

будет выполняться и в некоторой окрестности точки х. Из всех этих открытых промежутков о, построенных для всевозможных х из X, составится некая бесконечная система 2, покрывающая промежуток X. Тогда, по лемме Бореля [88], из нее выделяется и конечная подсистема промежутков

также покрывающая Эти промежутки и будут теми, о которых идет речь в определении квазиравномерной сходимости.

Достаточность. Допустим теперь, что ряд (3) сходится к своей сумме квазиравномерно. Задавшись числами и построим промежутки и выберем номера с указанными в определении свойствами. Возьмем по произволу в пусть она содержится в промежутке Как и при доказательстве теоремы можем написать

При этом, очевидно,

если х тоже принадлежит этому промежутку то и

Можно найти такое число что, при не только х содержится в указанном промежутке, но и первое слагаемое в (12а) справа будет а значит

и непрерывность в точке доказана

Из этой теоремы с легкостью выводится теорема Дини предыдущего п°. Действительно, если ряд (3) состоит из положительных непрерывных функций и сходится к непрерывной же сумме, то, как мы видели, сходимость необходимо будет квазиравномерной.

Пользуясь тем, что в данном случае остатки с возрастанием убывают, достаточно взять номер бблыпим всех и, чтобы для неравенство (6) выполнялось одновременно для всех х из сходимость оказывается равномерной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление