Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры.

Биномиальными называются дифференциалы вида

где - любые постоянные, а показатели - рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются в конечном виде.

Один такой случай ясен непосредственно: если - число целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматриваемое выражение относится к типу, изученному в предыдущем п°. Именно, если через X обозначить наименьшее общее кратное знаменателей дробей , то мы имеем здесь выражение вида , так что для рационализации его достаточна подстановка

Преобразуем теперь данное выражение подстановкой Тогда

и, положив для краткости

будем иметь

Если - число целое, то мы снова приходим к выражению изученного типа. Действительно, если обозначить через v знаменатель дробир, то преобразованное выражение имеет вид Рационализации подинтегрального выражения можно достигнуть и сразу - подстановкой

Наконец, перепишем второй из интегралов (2) так:

Легко усмотреть, что при целом мы также имеем изученный случай: преобразованное выражение имеет вид

Подинтегральное выражение в данном интеграле рационализируется и сразу подстановкой

Таким образом, оба интеграла (2) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел

или (что то же) одно из чисел

Эти случаи интегрируемости, по существу, известны были еще Ньютону. Однако лишь в середине прошлого столетия П. Л. Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифференциалов нет.

(кликните для просмотра скана)

имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление