Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

435. Почленное дифференцирование рядов.

С помощью теоремы 5 предыдущего п° легко доказывается следующая

Теорема 7. Пусть функции определены в промежутке и имеют в нем непрерывные производные

Если в этом промежутке не только сходится ряд (3), но и равномерно сходится ряд, составленный из производных:

то и сумма ряда (3) имеет в X производную, причем

Доказательство. Обозначим через сумму ряда (24); ввиду теоремы 1, это будет непрерывная функция от х. Воспользовавшись теперь теоремой 5, проинтегрируем ряд (24) почленно в промежутке от а до произвольного значения х из X; мы получим

Но, очевидно, так что

[Это преобразование оправдано наперед известной сходимостью рядов см. 364, 4°.] Так как интеграл слева, ввиду непрерывности подинтегральной функции, имеет производную, равную [305, 12°], то ту же производную имеет и функция которая от интеграла отличается лишь на постоянную.

Равенство (25) можно переписать (если воспользоваться, следуя Коши, обозначением для производной) в виде

Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из производных его членов, шли, иными словами, допустимо почленное дифференцирование ряда,

Рассмотрим ряды

и

Первый из них сводится к 0 при к 1 в остальных точках, а сумма второго везде равна 0. Если продифференцировать их почленно, то получатся уже знакомые нам ряды (15) [431], сходящиеся во всем промежутке [0, 1] к 0, но оба неравномерно. В первом случае ряд из производных сходится и при где сумма первоначального ряда производной иметь не может, ибо разрывна в этой точке. Во втором случае, наоборот, почленное дифференцирование повсюду приводит к верному результату. Этими примерами иллюстрируется роль требования, чтобы ряд производных сходился равномерно: оно существенно, но не необходимо.

Теорема 7 может быть освобождена от некоторых лишних предположений ценою небольшого усложнения доказательства. Теорема 8. Пусть функции определены в промежутке и имеют в нем конечные производные . Если ряд (3) сходится хоть в одной точке, например при , а ряд (24), составленный из производных, равномерно сходится во всем промежутке X, то тогда 1) ряд (3) сходится равномерно во всем промежутке и 2) его сумма имеет в X производную, выражаемую равенством (25). Доказательство. Возьмем в промежутке две различные точки и составим ряд

Мы докажем, что при любом фиксированном этот ряд сходится для всех и притом равномерно относительно х. С этой целью, задавшись произвольным числом ввиду равномерной сходимости ряда (24), найдем такой номер что при неравенство

выполняется для всех значений х одновременно. Фиксируя на момент пят, рассмотрим функцию

ее производная

в силу (27), по абсолютной величине всегда <е. Но, очевидно,

где с содержится между [по теореме Лагранжа, 112]. Поэтому, окончательно, для всех

так как это неравенство имеет место, лишь только каково бы ни было то равномерная сходимость ряда (26) этим доказана. Отсюда уже вытекают все нужные нам заключения. Прежде всего, взяв из равномерной сходимости ряда

[см. следствие п° 429], и из сходимости ряда заключаем о равномерной же сходимости ряда

Если через обозначить его сумму, то суммой ряда (26), где есть снова любое значение х в промежутке - очевидно,

Гак как в равномерно сходящемся ряде можно переходить к пределу почленно (по теореме 4), то, устремляя получим:

Замечание. Все эти теоремы о почленном предельном переходе, почленном интегрировании и дифференцировании устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами конечного числа функций. Аналогия эта, однако, ограничена известными условиями, в характеристике которых равномерная сходимость занимает исключительное место.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление