Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

436. Точка зрения последовательности.

Представляет интерес перефразировать полученные результаты с точки зрения последовательности функций. Это позволит отчетливо поставить в связь рассматриваемые вопросы с общим вопросом о перестановке двух предельных процессов, который играет столь важную роль

во всем анализе. С другой стороны, наметится и путь к обобщению этих результатов.

Итак, мы снова сопоставляем последовательность функций (1) и функциональный ряд (3), считая, что они связаны соотношениями:

или равносильными им:

Предельная функция для последовательности есть то же, что и сумма соответствующего ряда. Равномерная сходимость может иметь место лишь одновременно и для последовательности, и для ряда.

I. Рассмотрим сначала вопрос о пределе упомянутой предельной функции. Пусть множество в котором определены все рассматриваемые функции, имеет точкой сгущения а. Тогда теорема 4 п° 433 перефразируется так:

Теорема 4. Если функции имеют пределы

и

причем в первом случае стремление к пределу происходит равномерно относительно х (в X), то существуют оба конечных предела

которые равны между собой.

Равенство

если принять во внимание (28) и (29), может быть переписано так:

Таким образом, рассматриваемая теорема устанавливает для функции от двух переменных, х и и, условия существования и равенства двух повторных пределов и непосредственно примыкает к исследованиям п° 168.

Предоставляем читателю перефразировать для цоследовательностей и две теоремы п° 431.

II. Теперь пусть область X представляет собой промежуток и рассмотрим вопрос об интеграле предельной функции. Вот аналог теоремы 6 [434]:

Теорема 6. Если последовательность состоит из функций, интегрируемых в промежутке и сходится к своей предельной функции равномерно относительно то функция будет интегрируема в причем

Последнее равенство перепишем в виде:

так что предел, относящийся к интегралу, оказывается возможным отнести непосредственно к подинтегральной функции. В этом случае говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

В равенстве (30) переставляются знаки предела и интеграла. Так как определенный интеграл также получается в результате некоего предельного процесса, то рассматриваемый здесь вопрос оказывается родственным тому, который изучался в 168.

III. Наконец, перейдем к вопросу о производной предельной функции. Перефразируем теорему 8 [435]:

Теорема 8. Пусть все функции дифференцируемы в промежутке и последовательность производных сходится во всем промежутке, равномерно относительно х. Если известно, что последовательность функций сходится хоть в одной точке промежутка то можно утверждать, что 1) эта последовательность сходится во всем промежутке, и даже равномерно, 2) предельная функция дифференцируема, причем

Если переписать это равенство более выразительно:

то сразу станет ясно, что речь идет о перестановке знаков предела и производной. Так как производная также есть предел, то и этот вопрос связан с перестановкой двух предельных переходов.

В заключение заметим следующее. Если стоять на точке зрения бесконечного ряда, то натуральный параметр и, естественно, не может

быть заменен более общим. Иначе обстоит дело, если речь идет о последовательности функций. Здесь функция может быть заменена функцией от двух переменных, где у изменяется в произвольной области имеющей точкой сгущения число (конечное или нет). Предельный переход при заменяется предельным переходом при Формулировка и доказательство теорем, относящихся к этому общему случаю, не представляют трудности. К некоторым из этих обобщений мы вернемся ниже, в главе XIV.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление