Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Применим теперь к степенным рядам теоремы пп° 434 и 435.

Сопоставляя доказанные уже свойства 1° и 5° с теоремой 5 п° 434, получим:

7°. Степенной ряд (31) в промежутке где всегда можно интегрировать почленно, так что

Значение х здесь может совпадать и с одним из концов промежутка сходимости, если на этом конце ряд (31) сходится.

Переходим к вопросу о дифференцировании степенного ряда.

8°. Степенной ряд (31) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что

Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка сходимости, если только написанный ряд на этом конце сходится.

Возьмем любое х внутри промежутка сходимости исходного ряда, так что и вставим число между Ввиду сходимости ряда

его общий член ограничен:

Тогда для абсолютной величины члена ряда (34) получается оценка

Ряд

сходится; в этом легко убедиться с помощью признака Даламбера [368], если учесть, что . В таком случае абсолютно сходится ряд (34). Отсюда ясно, что радиус сходимости этого ряда не меньше

Если теперь взять любое то одновременно и силу 1° ряд (34) равномерно сходится в промежутке так что - по теореме 7 п° 435 - в этом промежутке допустимо почленное дифференцирование ряда (31). Так как произвольно, то основное утверждение теоремы доказано.

В случае сходимости ряда (34), скажем, при эта сходимость равномерна в промежутке и теорема 7 приложима ко всему этому промежутку - почленное дифференцирование оказывается допустимым и при

Замечание. Мы убедились в том, что . С другой стороны, члены исходного ряда (31) не превосходят по абсолютной величине соответственных членов ряда

имеющего тот же радиус сходимости что и ряд (34). Следовательно, . Таким образом, окончательно, радиусы сходимости степенного ряда (31) и ряда (34), полученного из него почленным дифференцированием, совпадают. Это, впрочем, легко устанавливается

и с помощью теоремы Коши-Адамара [380], если вспомнить, что при

Так как ряд (31) получается почленным дифференцированием из ряда (33), то и эти ряды имеют один и тот же радиус сходимости.

Последняя теорема 8° открывает возможность последовательно многократного дифференцирования степенного ряда. Таким образом, по-прежнему обозначая Через функцию, представляемую степенным рядом (31) в его промежутке сходимости, будем иметь повсюду внутри этого промежутка:

Если положить во всех этих равенствах то придем к хорошо нам знакомым выражениям коэффициентов степенного ряда:

[ср. 403 (7)]. Если бы речь шла о ряде общего вида (31, то лишь пришлось бы здесь вместо значения подставить Итак:

9°. Функция, представляемая степенным рядом в его промежутке сходимости, имеет внутри этого промежутка производные всех порядков. Самый ряд, по отношению к этой функции, является не чем иным, как ее рядом Тейлора.

Это замечательное предложение проливает свет на вопросы разложения функций в степенные ряды, которыми мы занимались в предыдущей главе. Мы видим, что если функция вообще разлагается в степенной ряд, то необходимо - в ряд Тейлора; поэтому-то мы и ограничивались исследованием возможности для функции быть представленной именно своим рядом Тейлора. Заметим, что функция, которая разлагается в ряд Тейлора по степеням называется аналитической в точке

Изложенная теория распространяется и на кратные степенные ряды. Остановимся для определенности на ряде с двумя переменными:

Внутри области сходимости [396] такой ряд также можно почленно дифференцировать по любой из переменных и любое число раз. Отсюда, как и только что, легко получаются выражения для коэффициентов

и, вообще,

Таким образом, разложение функции (если только оно возможно) необходимо имеет вид

И этот ряд называется рядом Тейлора; он естественно примыкает к формуле Тейлора, о которой была речь в 195. При наличии такого разложения функция называется аналитической в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление