Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Приложения

439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу.

1) Исследовать на непрерывность суммы ряда

в предположении, что и один из этих показателей (чем обеспечивается сходимость ряда для всех значений х). Очевидно, достаточно ограничиться неотрицательными х.

Если , то для - любое число) ряд мажорируется сходящимся рядом

следовательно, по признаку Вейерштрасса сходится равномерно, и его сумма в промежутке непрерывна. Ввиду произвольности это относится ко всему промежутку

Если же но 1, то, переписав ряд, для в виде

заключаем, по предыдущему, о непрерывности его суммы для всех Таким образом, нужно лишь решить вопрос о точке

Методами дифференциального исчисления можно установить, что член ряда достигает своего наибольшего значения при и это значение равно

Если , то наш ряд мажорируется сходящимся рядом

чем обеспечивается непрерывное функции для всех х, включая точку

Остается открытым вопрос о непрерывности при в случае, если но . Мы увидим ниже [491, 13)], что при этих условиях функция в точке имеет разрыв.

2) Рассмотрим ряд Дирихле [385, 3)]

где - некоторая последовательность вещественных чисел. Предположим, что он не будет «всюду расходящимся, так что для него существует пограничная абсцисса сходимости Какое бы число ни взять, ряд

сходится. Отсюда можно заключить, что рассматриваемый ряд сходится равномерно для всех хгха [аналог теоремы 1°, 437]. Это утверждение следует из признака Абеля, если переписать наш ряд в виде

и заметить, что множители убывают с возрастанием будучи все вместе ограничены единицей. А тогда, по теореме 1, сумма ряда будет непрерывна для , а следовательно (ввиду произвольности - для всех [аналог теоремы 2°].

Если X конечно, и ряд

сходится, то таким же образом убеждаемся в равномерной сходимости рассматриваемого ряда для [ср. 5°] и в непрерывности его суммы при справа

3) В п° 390, 6), определив функцию равенством

мы убедились в том, что она удовлетворяет такому соотношению:

Теперь, согласно теореме 2°, 437, функция оказывается непрерывной во всем промежутке от до . В силу же доказанного в 75, 1°, непрерывное решение уравнения (1) необходимо имеет вид: Наконец, основание а, очевидно, определится равенством

Итак, окончательно, (11)].

4) Дадим новую трактовку биномиального ряда [407 (22)]

который абсолютно сходится при любом если Поставим задачей определить его сумму. Обозначим эту сумму как функцию от (при фиксированном

1) через

Из элементов алгебры известно, что при любом натуральном (ряд тогда обрывается на члене) покажем же, что это верно для всех .

Взяв любое к, рассмотрим подобный же ряд

с суммой и перемножим оба ряда по правилу Коши. Нетрудно написать несколько первых членов этого произведения:

Коэффициентом при будет, очевидно, некий целый многочлен степени относительно . Каков вид его? Если - любые натуральные

числа, большие , то из элементарных соображений явствует, что названный коэффициент будет

Следовательно (как это вытекает из алгебраической теоремы о тождестве целых многочленов с двумя переменными), этот же вид он будет иметь при любых тик. Итак, искомая функция удовлетворяет функциональному соотношению

Установим теперь непрерывность функции Это следует из равномерной сходимости биномиального ряда для всех значений не превосходящих по абсолютной величине произвольно взятого числа для этих значений он мажорируется сходящимся рядом

В таком случае, как мы знаем [75, Г], необходимо

Так как то окончательно

5) Известный уже читателю логарифмический ряд [405 (17)] можно получить из биномиального ряда [407 (22)], с помощью соотношения [77, 5 (б)]

Положим и подставим вместо его разложение

Тогда представится как предел при выражения

Члены этого ряда (при постоянном содержат, в качестве переменной, натуральный параметр к. Во всей области его изменения ряд (2) сходится равномерно относительно к, это (по признаку Вейерштрасса) следует из того, что он мажорируется рядом

уже не содержащим к. В таком случае, по теореме 4, в ряде (2) можно перейти к пределу при почленно, что и приводит к логарифмическому ряду.

6) Интересный пример того же рода дает вывод показательного ряда [404 (11)] из соотношения

Имеем, разлагая степень бинома по формуле Ньютона,

На деле здесь, при каждом к, членов всего лишь конечное число но мы можем считать, что пред нами «бесконечный ряд», если остальные члены положить равными 0. Этот «ряд» сходится равномерно для всех к, ибо, очевидно, сходящийся ряд

служит для него мажорантным. В таком случае по теореме 4 в «ряде» (3) можно перейти к пределу при почленно. Так как член этого ряда, равный 0, покуда при всех имеет уже вид

то его предел при к есть Таким путем мы приходим вновь к разложению показательной функции

7) Исходя из формулы Моавра, мы уже вывели в 408 формулу

Покажем, как отсюда может быть получено разложение функции в степенной ряд.

Положим и вынесем за скобки; наша формула перепишется

Считая x неизменным, перейдем в ней справа к пределу при

Так как [например, см. 79, 4) при то в пределе, действительно, получается требуемое разложение [404 (12)]

Остается обосновать почленный предельный переход в скобках, где число членов при каждом конечно, но неограниченно возрастает вместе с [ср. 6)].

Пусть взятое х содержится между будем считать

Легко показать, что тогда выражение — по абсолютной величине убывает с возрастанием и, следовательно, ограничено:

В таком случае разложение в скобках мажорируется сходящимся рядом

Рассуждение завершается как и в предыдущем примере.

Аналогично может быть получено и разложение в степенной ряд. Замечание. Примеры 5), 6) и 7) воспроизводят в уточненном изложении вывод разложений элементарных функций, данный Эйлером в его «Введении в анализ бесконечно малых (1748).

8) Доказать, что

(а) Пусть так как ряд сходится, а множители ограниченные сверху единицей, монотонно убывают с возрастанием то приложим признак Абеля, так что ряд сходится равномерно для всех х в (0, 1). Переходя в нем к пределу при почленно (теорема 4), получим требуемый результат.

(б) Пусть и здесь имеем:

На этот раз ряд не сходится, но его частичные суммы ограничены. Зато множители - не только монотонно убывают с возрастанием

и, но и равномерно для х в (0,1) стремятся к 0, ибо

В таком случае приложим признак Дирихле, ряд сходится равномерно, допустим почленный предельный переход при

9) Говоря о степенном ряде, мы всегда подразумевали, что члены его расположены в порядке возрастания показателей. Если внутри промежутка сходимости это не имеет значения, поскольку ряд сходится абсолютно, то, например, теорема Абеля становится неверной без этой оговорки.

Проверить это на ряде

полученном перестановкой членов из логарифмического ряда [ср. 388, пример 1)]

10) Применим теорему Абеля к доказательству его же теоремы об умножении рядов [392]. Рассмотрим два сходящихся ряда

и

и предположим, что их произведение (Коши)

где также сходится. Нужно доказать, что тогда

Из сходимости ряда (А) прежде всего заключаем, по лемме п° 379, что ряд

абсолютно сходится для так что радиус сходимости этого ряда наверное Таким образом, во всяком случае имеет место соотношение

именно, при - по теореме 6° Абеля, а при по теореме 2° [437] Если рассмотреть, аналогично, ряды (при

то для них будет справедливо все сказанное о ряде

Применяя теперь к абсолютно сходящимся рядам (А и (В теорему Коши [389], будем иметь

Остается лишь перейти к пределу здесь при чтобы получить требуемый результат:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление