Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

440. Примеры на почленное интегрирование рядов.

1) Суммирование ряда можно осуществить так:

Мы использовали сначала теорему Абеля, а затем - почленное интегрирование степенного ряда [437, 6°; 438, 7°].

2) Почленным интегрированием рядов

в промежутке сразу получаются разложения х

которые в 405 [см. (17)] и 404 [см. (15)] были получены более сложным путем. Справедливость первого разложения при и второго при устанавливается дополнительно с помощью теоремы Абеля [437, 6°].

3) Если вспомнить, что производная функция равная разлагается в ряд следующим образом [407 (24)]:

то почленным интегрированием этого ряда легко получить (новое для нас) разложение самого арксинуса:

Так как этот ряд сходится и при то, по теореме Абеля, разложение действительно и при этих значениях. В частности, при будем иметь такой ряд для числа

Аналогично, разложив производную

в ряд и почленно проинтегрировав его, найдем разложение

Функция эта есть не что иное, как т. е. функция, обратная [49, 4); 339, замечание].

4) С помощью почленного интегрирования рядов получаются разложения в бесконечные степенные ряды для некоторых интегралов, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции [см. 272]. Эти разложения могут быть использованы для приближенных вычислений.

Так, исходя из известного разложения

[ср. 404 (11)], найдем

Поставим себе задачу: вычислить с точностью до 0,0001 интеграл

Взяв верхний предел интеграла равным 1, получим для W знакопеременный числовой ряд с убывающими по абсолютной величине членами:

Так как восьмой член уже значительно ниже заданной границы, то мы сохраним лишь первые семь членов. Соответствующая (отрицательная) поправка Л легко оценивается

Вычисляя оставленные члены с пятью знаками после запятой, найдем:

Если учесть все поправки, то окажется, что

и все четыре знака верны. [Ср. 328, 5).]

5) Аналогично, так как [ср. 404 (12)]

то

Предложим себе вычислить, с помощью этого разложения, интеграл

с точностью до 0,001.

Имеем, полагая

т. е. снова знакопеременный ряд с убывающими по абсолютной величине членами.

Так как шестой член меньше, чем 0,0007, то мы ограничимся пятью членами. Вычисляем на четыре знака:

Учитывая поправки, приходим к заключению:

6) Поставим себе задачей представить в виде рядов интегралы

(а) Вспоминая разложение арктангенса, имеем:

Так как ряд, стоящий под знаком интеграла, сходится при то почленное интегрирование допустимо [438, 7°].

Мы уже упоминали [328, 6)], что значение этого интеграла

известно как «постоянная Каталана». Теперь мы видим, что

б) Переписав подинтегральное выражение в виде разлагаем его в показательный ряд

который сходится равномерно для ибо максимум функции (как легко установить методами дифференциального исчисления) есть так что написанный ряд мажорируется рядом

Итак, допустимо почленное интегрирование. Так как

то окончательно

7) Мы имели разложение

Полагая здесь и учитывая, что [50] найдем:

Проинтегрируем это равенство от 0 до у, причем справа выполним интегрирование почленно:

Этот результат можно переписать так:

При получим отсюда

Но мы видели уже [395 (13); см. также 416], что

так что, окончательно,

К этому интересному результату Эйлера мы будем возвращаться еще не раз.

8) Вычислить интеграл

Если воспользоваться логарифмическим рядом [405 (17)], то для подинтегралъной функции получим разложение

которое действительно во всем промежутке [0, 1]. Интегрируя почленно, найдем

Мы только что установили равенство (4); из него следует:

Таким образом, мы приходим к «конечному» выражению для искомого интеграла

9) Пусть требуется найти интеграл

приписываем подинтегральному выражению предельное при значение а.

Пользуясь разложением логарифма, имеем:

причем ряд сходится равномерно в промежутке Заметив, что [312 (8)]

произведем почленное интегрирование:

В полученном ряде мы узнаем разложение функции арксинус [см. 3)]. Таким образом, окончательно находим (в конечном виде!)

10) Рассмотрим разложение (при

Доказать его легко, умножив правую часть на знаменатель мы получим:

Если заменить через и соответственно разбить вторую сумму на две, то после сокращений останется лишь что и завершает доказательство.

Ввиду сходимости ряда в (5) справа сходится равномерно относительно х в промежутке Возьмем теперь интегралы от до и слева и справа, причем ряд можно интегрировать почленно (теорема 5). Так как то мы получим:

Аналогично, умножив обе части тождества (5) на тих и интегрируя почленно, легко получить

При этом используется известный результат [309, 4) (г)]

11) Если в тождестве (5) перенести единицу налево и разделить обе части на то получим:

На этот раз фиксируем по произволу х и станем рассматривать как переменную с областью изменения Проинтегрируем обе части равенства по от 0 до любого в этом промежутке, причем степенной ряд справа будем интегрировать почленно; так как слева числитель (с точностью до числового множителя) есть производная знаменателя по то в результате получим:

Теперь снова фиксируем будем изменять от 0 до Легко видеть, что ряд справа сходится равномерно относительно х в этом промежутке, так что допустимо почленное интегрирование (теорема 5). Выполнив его придем к интегралу:

[ср. 307, 4); 314, 14)]. Отсюда, как мы уже видели, легко получить значение интеграла и при

12) Следующие интегралы, зависящие от

представляют так называемые бесселевы функции [ср. 395, 14)]. Разлагая подинтегральные выражения по степеням в и интегрируя почленно, легко получить уже знакомые нам разложения этих функций в ряды по степеням х. Например, интегрируя ряд

и вспоминая формулу [312 (8)]

найдем для бесселевой функции с нулевым значком

13) Нам уже встречались так называемые полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода [315 и др.]:

Поставим себе задачей - разложить их по степеням модуля к

Полагая в формуле (24) п° 407 , получим:

Этот ряд сходится равномерно относительно , ибо мажорируется при всех значениях сходящимся рядом

следовательно, по теореме 5, здесь допустимо почленное интегрирование, которое мы и выполним. Используя снова формулу (6), таким путем получим:

Аналогично, исходя из формулы (23) п° 407, найдем

Этими рядами также можно воспользоваться для приближенных вычислений. Для примера рассмотрим ряд

Если сохранить здесь только написанные члены, то соответствующая поправка будет отрицательна и оценивается следующим образом:

можно ждать трех верных знаков после запятой. Действительно, вычисляя с пятью знаками, имеем:

Нужно сказать, что лишь при малых значениях к указанные выше ряды для полных эллиптических интегралов на самом деле выгодны для вычислений. Но существуют преобразования, позволяющие сводить вычисление названных интегралов к случаю сколь угодно малого к [ср. 315].

14) Можно использовать полученное разложение функции для вычисления следующего интеграла:

Прежде всего, легко проверить, что имеет место разложение

например, умножая правую часть равенства на

Подставляя и умножая еще на мы можем интегрировать почленно по 0 от 0 до поскольку полученный ряд сходится в этих пределах равномерно (он, например, мажорируется предыдущим рядом при Так как [312 (8)]

то находим:

Сопоставив выражение в скобках с формулой (24) п° 407, получаем значение искомого интеграла даже в конечном виде:

15) Наконец, рассмотрим вопрос о разложении по степеням х (но не целым!) функции при

Имеем (используя биномиальный ряд):

причем, если опустить первый член, который при обращается в сходимость ряда будет равномерной в любом промежутке где .

Первообразная функция для первого члена есть - для остального ряда первообразную получаем почленным интегрированием. Так как при должно быть то окончательно находим такое разложение по дробным степеням х (действительно для ):

Аналогично получается и разложение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление