Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

441. Примеры на почленное дифференцирование рядов.

1) Вернувшись снова к функции [ср. 390, 6); 439, 3)]:

мы можем теперь легко установить ее производную; для этого достаточно [438, 8°] почленно продифференцировать этот ряд. Мы получим, что так что рассматриваемая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению: Отсюда так как при очевидно, то окончательно находим, что

2) Аналогичный прием применим к определению суммы биномиального ряда

[на этот раз фиксировано, а х изменяется в промежутке ; ср. 439, 4)]. Дифференцируя его почленно, получим:

Теперь нетрудно убедиться в том, что

Таким образом наша функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Отсюда

Так как при очевидно, то постоянная и, окончательно,

3) Мы знаем уже, что сумма ряда Дирихле [385, 3)]

для - пограничная абсцисса сходимости, есть непрерывная функция [439, 2)].

Почленным дифференцированием можно найти производную этой функции:

Пока мы получили этот результат лишь формально. Для того чтобы оправдать его, достаточно удостовериться в том, что последний ряд сходится равномерно относительно х для всех где - любое (но фиксированное) число, большее Я. Это устанавливается, как и в 439,2), с помощью признака Абеля, опираясь на то, что множители-, начиная с убывают с возрастанием будучи все вместе ограничены числом Какое бы значение ни взять, его можно заключить между границами к промежутку применима теорема 7 [435].

Таким же путем можно убедиться в существовании для функции производных всех порядков и получить их выражение в виде рядов.

Все сказанное, в частности, приложимо к функции

Римана при

4) Мы уже встречались с разложением бесселевой функции с нулевым значком в степенной ряд

Покажем теперь, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению Бесселя:

Имеем, полагая

а затем, дважды почленно дифференцируя разложение и,

Если сложить эти равенства, то коэффициент при окажется равным

что и доказывает требуемое утверждение.

Аналогично можно убедиться в том, что бесселева функция с произвольным натуральным значком , о которой также была речь выше, удовлетворяет общему уравнению Бесселя:

5) Поучительнее другая постановка задачи: пусть требуется найти функцию, разлагающуюся в ряд для всех х и удовлетворяющую уравнению Бесселя.

Выполним это, например, для простейшего случая Напишем разложение искомой функции в виде ряда с неопределенными коэффициентами:

и, считая его всюду сходящимся, дважды продифференцируем почленно. Подставляя все эти разложения в уравнение, получим:

По теореме 3° [437]:

Отсюда, прежде всего, коэффициенты с нечетными индексами что же касается коэффициентов с четными индексами то по рекуррентной формуле все они выразятся через

Итак, с точностью до произвольного множителя мы возвращаемся к функции

Что полученный ряд, действительно, всюду сходится, проверяется непосредственно. А из самого способа его получения явствует, что представляемая им функция удовлетворяет уравнению.

[Обращаем внимание читателя на своеобразное использование метода неопределенных коэффициентов; здесь у нас оказалось уже бесконечное множество этих коэффициентов и пришлось прибегнуть к теореме о тождестве степенных рядов, взамен обычно применяемой теоремы о тождестве многочленов].

6) Гауссом была введена функция

[гипергеометрический ряд (см. 372, 378, 4)]. Дважды дифференцируя этот ряд почленно (считая можно установить, что эта функция удовлетворяет так называемому гипергеометрическому дифференциальному уравнению

Предоставляем несколько громоздкие, но нетрудные выкладки читателю. И здесь можно изменить постановку задачи, как это сделано в упражнении 5.

7) Определим для функцию равенством

Покажем, что для эта функция удовлетворяет интересному функциональному уравнению:

Для этого достаточно доказать, что производная по х от выражения слева тождественно обращается в нуль:

Дифференцируя почленно ряд, определяющий функцию найдем:

заменяя х на 1-х, получим, что

Этим и завершается доказательство.

Самую величину постоянной легко определить, устремляя в доказанном соотношении х к 1. По теореме Абеля левая часть его будет иметь пределом

[440 4)]; значит, .

8) В 400, 4) рассматривалось бесконечное произведение

Предполагая сначала прологарифмируем это равенство [401, 4°]:

а затем продифференцируем полученный ряд почленно:

Так как ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической прогрессией, то почленное дифференцирование оправдано.

9) В 408 мы вывели разложение в бесконечное произведение

Вводя абсолютные величины, получим отсюда:

Если х отлично от чисел вида то, логарифмируя, придем к бесконечному ряду:

Почленное дифференцирование дает нам такое разложение:

Для оправдания его достаточно убедиться в том, что полученный ряд сходится равномерно в любом замкнутом конечном промежутке, не содержащем точек вида Действительно, при изменении х в этом промежутке его абсолютная величина остается ограниченной: так что, по крайней мере для

Так как ряд

сходится, то требуемый результат получается с помощью признака Вейерштрасса.

Разложению можно придать форму:

в этом виде оно является как бы разложением на простые дроби, отвечающие отдельным корням знаменателя

По формуле отсюда можно получить разложение на простые дроби:

Точно так же. если воспользоваться формулой:

можно получить разложение и для

Продифференцировав почленно разложение для (предоставляем читателю убедиться в дозволительности этого), получим еще одно полезное разложение:

10) Если исходить из представления бесконечным произведением [408], то аналогично можно прийти к разложениям

11) Для функций мы вывели в п° 402 формулу Вейерштрасса [см. (16)]:

Учитывая, что и переходя к логарифмам, отсюда легко полу чить (при х, отличном от 0 и от целых отрицательных чисел)

Дифференцируя ряд почленно, формально отсюда получим

Покажем теперь, что ряд справа сходится равномерно в любом конечном промежутке (не содержащем целых отрицательных чисел). Действительно, так как при этом остается ограниченной: то по крайней мере для имеем:

Так как ряд сходится, то, по признаку Вейерштрасса, равномерная сходимость обеспечена. Мы получаем возможность сослаться на теорему 7 п° 435 и тем докажем и самое существование производной от а следовательно, и от и т. д.

Прибавляя к правой части полученной формулы ряд

можно привести ее к виду:

Легко убедиться в существовании для функции производных всех порядков.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление