Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций.

Для того чтобы показать в действии теорию функциональных рядов (или последовательностей), рассмотрим вновь вопрос о существовании «неявных» функций [206 и след.]. Ограничимся для простоты случаем одного уравнения:

из которого у подлежит определению, как однозначная функция от х. На этот раз мы прибегнем к методу последовательных приближений, который позволит нам не только установить существование этой функции, но и дать указания относительно ее фактического вычисления.

Пусть функция непрерывна, вместе со своей производной в некотором квадрате

с центром в точке причем

Тогда уравнение (7) в окрестности точки определяет у как однозначную и непрерывную функцию от х, которая при обращается в

Нам удобнее рассмотреть сначала частный случай, когда уравнение (7) имеет форму

где функции вместе с удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что и но с заменой условий (8) следующими:

Ввиду непрерывности производной мы можем с самого начала считать область настолько малой, чтобы в ее пределах вообще было

где есть некоторая постоянная, меньшая единицы. Затем, сохраняя промежуток изменения переменной у, нам придется еще сжать промежуток изменения переменной х, заменив его столь малым промежутком чтобы

в его пределах непрерывная функция от , которая обращается в 0 при удовлетворяла неравенству

Таким образом мы подготовили область

к которой и будут относиться наши дальнейшие рассуждения.

Подставив в правую часть уравнения (7 вместо у постоянную мы получим некоторую функцию от х:

Аналогично, полагаем последовательно

и вообще

Эти функции

и осуществляют последовательные приближения к искомой функции

Правда, остается еще проверить, что все они не выходят за пределы промежутка ибо, если бы какая-нибудь из них вышла из этого промежутка, то ее уже нельзя было бы подставлять вместо у в правую часть уравнения (7. Установим это индуктивно. Пусть, скажем,

Из

Но

Первое слагаемое справа преобразуется по теореме о среднем значении, и, на основании (9),

а второе меньше в силу (10), так что по совокупности

что и доказывает наше утверждение.

В то же время индуктивно устанавливается, что все построенные указанным путем функции будут непрерывны.

Обратимся теперь к вопросу о пределе для последовательности функций Удобнее, однако, рассмотреть ряд

Из самого определения нашей последовательности ясно, что

Воспользовавшись снова теоремой о среднем и неравенством (9), найдем

Отсюда, заменяя и на на и т. д., окончательно получим

ввиду (10). Таким образом, ряд (12) мажорируется геометрической прогрессией

а следовательно, сходится и притом равномерно для всех значений х в промежутке . А тогда, по теореме 1 п° 431, и предельная функция

будет в указанном промежутке непрерывна.

В том, что эта функция удовлетворяет исходному уравнению, легко убедиться переходя к пределу при в равенстве (11). Остается еще доказать, что не существует других значений у, кроме доставляемых ею, которые удовлетворили бы уравнению (7. В самом деле, если бы, при некотором х, наряду с (7 имели

то, вычитая и оценивая разность значений , как обычно, получили бы

что невозможно, если у у.

Отсюда уже вытекает, что

это, впрочем, непосредственно ясно и из того, что все

Теорема - в рассматриваемом частном случае - доказана. Общий случай легко приводится к частному; именно, уравнение (7) можно переписать в виде

который отождествляется с (7, если положить

Эта функция удовлетворяет требованиям (8, в частности второму из них, потому что оказывается равной 0.

Как уже упоминалось, изложенный процесс облегчает и фактическое вычисление искомой функции по приближению. Погрешность от замены на легко оценивается, так как остаток ряда (12) после члена мажорируется соответствующим остатком геометрической прогрессии (13). Отсюда и получается:

Весьма поучительно сопоставление доказательства теоремы о неявной функции в 206 и только что проведенного. Там мы имели дело с чистым «доказательством существования», здесь же - с построением искомого объекта.

Подобным же образом могут быть эффективно доказаны и общие теоремы п° 208. Мы ограничились простейшим случаем, чтобы лучше выявить идею метода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление