443. Аналитическое определение тригонометрических функций.

Читатель видел, какую важную роль в анализе играют тригонометрические функции. Между тем вводятся они на основе чисто геометрических соображений, анализу совершенно чуждых. Поэтому приобретает принципиальную важность вопрос о возможности определения тригонометрических функций и изучения их основных свойств - средствами самого анализа. Бесконечные ряды как раз и есть то орудие, с помощью которого все это может быть осуществлено, и мы посвятим этот п° изучению тригонометрических функций по их аналитическому определению, в качестве нового примера приложения изложенной выше теории.

Итак, рассмотрим две функции формально определяемые для всех вещественных значений х всюду сходящимися рядами:

ни в какой мере не отождествляя их покуда с ранее известными нам функциями Мы уже имели однажды дело с так определенными функциями [390, 7)]; с помощью умножения рядов, как там указывалось, для них можно установить две основные формулы:

справедливые при всех значениях

Продолжим исследование свойств функций Заменяя х на - сразу усматриваем, что есть функция четная, - нечетная,

Полагая же найдем, что

Если теперь, сохраняя х произвольным, положить в то - с учетом только что установленных равенств - получим соотношение, алгебраически связывающее обе функции

Легко получить и формулы удвоения или деления пополам аргумента.

Из теоремы 2°, 437 и 9°, 438 заключаем, что обе функции не только непрерывны, но и имеют производные всех порядков. В частности, применив к рядам, определяющим наши функции, почленное дифференцирование 8°, 438 легко убедимся в том, что

Все эти свойства, как видим, устанавливаются легко. Несколько бблыпих усилий требует доказательство периодичности рассматриваемых функций, к чему мы теперь обратимся.

Установим сначала, что в промежутке (0, 2) существует, и притом единственный, корень функции . В самом деле, мы знаем, что Значение же можно

написать в следующем виде (отделив первые три члена соответствующего ряда, а остальные члены объединив попарно):

Так как все скобки положительны:

а сумма первых трех членов дает то заведомо отрицательно. Ввиду непрерывности функции отсюда следует, что в промежутке действительно лежит корень этой функции.

С другой стороны, в том же промежутке функция

очевидно, сохраняет положительный знак, а производная - отрицательный, следовательно, функция убывает, когда х растет от 0 до 2, и обращается в 0 лишь однажды.

Обозначим теперь упомянутый корень функции через причем таким образом, вводится здесь совершенно формально, и отождествлять его с отношением окружности к диаметру пока нельзя.

Итак, имеем:

последнее равенство следует из (16), с учетом положительности функции при

Полагая в формулах (14) и (15) сначала а затем последовательно, найдем:

Если в тех же формулах, сохраняя х произвольным, взять или то получим:

и, наконец,

Последние соотношения устанавливают, что функции имеют период .

Нетрудно было бы вывести и другие «формулы приведения»; мы предоставляем это читателю.

Теперь попытаемся доказать совпадение рассмотренных функций с тригонометрическими функциями а также отождествить формально введенное нами число с тем числом , которое играет столь важную роль в геометрии.

С этой целью рассмотрим кривую, заданную параметрически уравнениями:

где параметр изменяется от 0 до Ввиду (16), все точки ее удовлетворяют уравнению:

нению: т. е. лежат на окружности, описанной вокруг начала радиусом 1 (рис. 61). Покажем, что при этом получится каждая точка ее и лишь по разу; исключение представит, естественно, начальная точка А, отвечающая значениям

Мы видели, что пока а следовательно, и подавно при Заменяя во второй из формул на получим

отсюда можно усмотреть, что и при . В таком случае, функция производная которой равна - монотонно убывает при изменении от 0 до проходя по разу через каждое значение от 1 до -1. Отсюда ясно, что промежутку изменения параметра взаимно однозначно отвечает верхняя часть нашей окружности. Аналогичное утверждение можно сделать относительно промежутка значений параметра и нижней части окружности, ввиду того, что [см. (18)]

Рис. 61.

Теперь вычислим, по формуле (4) п° 329, длину дуги считая, что точка М отвечает значению параметра. Принимая во внимание (17) и (16), мы получим

Это показывает, что совпадает с углом выраженным в радианах, а тогда:

В то же время, длина всей окружности по нашей формуле оказывается равной следовательно, введенное нами число тождественно с тем, которое рассматривается в геометрии.