443. Аналитическое определение тригонометрических функций.
Читатель видел, какую важную роль в анализе играют тригонометрические функции. Между тем вводятся они на основе чисто геометрических соображений, анализу совершенно чуждых. Поэтому приобретает принципиальную важность вопрос о возможности определения тригонометрических функций и изучения их основных свойств - средствами самого анализа. Бесконечные ряды как раз и есть то орудие, с помощью которого все это может быть осуществлено, и мы посвятим этот п° изучению тригонометрических функций по их аналитическому определению, в качестве нового примера приложения изложенной выше теории.
Итак, рассмотрим две функции
формально определяемые для всех вещественных значений х всюду сходящимися рядами:
ни в какой мере не отождествляя их покуда с ранее известными нам функциями
Мы уже имели однажды дело с так определенными функциями [390, 7)]; с помощью умножения рядов, как там указывалось, для них можно установить две основные формулы:
справедливые при всех значениях
Продолжим исследование свойств функций
Заменяя х на -
сразу усматриваем, что
есть функция четная,
- нечетная,
Полагая же
найдем, что
Если теперь, сохраняя х произвольным, положить в
то - с учетом только что установленных равенств - получим соотношение, алгебраически связывающее обе функции
Легко получить и формулы удвоения или деления пополам аргумента.
Из теоремы 2°, 437 и 9°, 438 заключаем, что обе функции
не только непрерывны, но и имеют производные всех порядков. В частности, применив к рядам, определяющим наши функции, почленное дифференцирование 8°, 438 легко убедимся в том, что
Все эти свойства, как видим, устанавливаются легко. Несколько бблыпих усилий требует доказательство периодичности рассматриваемых функций, к чему мы теперь обратимся.
Установим сначала, что в промежутке (0, 2) существует, и притом единственный, корень функции
. В самом деле, мы знаем, что
Значение же
можно
написать в следующем виде (отделив первые три члена соответствующего ряда, а остальные члены объединив попарно):
Так как все скобки положительны:
а сумма первых трех членов дает
то
заведомо отрицательно. Ввиду непрерывности функции
отсюда следует, что в промежутке
действительно лежит корень этой функции.
С другой стороны, в том же промежутке функция
очевидно, сохраняет положительный знак, а производная
- отрицательный, следовательно, функция
убывает, когда х растет от 0 до 2, и обращается в 0 лишь однажды.
Обозначим теперь упомянутый корень функции
через
причем
таким образом, вводится здесь совершенно формально, и отождествлять его с отношением окружности к диаметру пока нельзя.
Итак, имеем:
последнее равенство следует из (16), с учетом положительности функции
при
Полагая в формулах (14) и (15) сначала
а затем
последовательно, найдем:
Если в тех же формулах, сохраняя х произвольным, взять
или
то получим:
и, наконец,
Последние соотношения устанавливают, что функции
имеют период
.
Нетрудно было бы вывести и другие «формулы приведения»; мы предоставляем это читателю.
Теперь попытаемся доказать совпадение рассмотренных функций
с тригонометрическими функциями
а также отождествить формально введенное нами число
с тем числом
, которое играет столь важную роль в геометрии.
С этой целью рассмотрим кривую, заданную параметрически уравнениями:
где параметр
изменяется от 0 до
Ввиду (16), все точки ее удовлетворяют уравнению:
нению:
т. е. лежат на окружности, описанной вокруг начала радиусом 1 (рис. 61). Покажем, что при этом получится каждая точка ее и лишь по разу; исключение представит, естественно, начальная точка А, отвечающая значениям
Мы видели, что
пока
а следовательно, и подавно при
Заменяя во второй из формул
на
получим
отсюда можно усмотреть, что
и при
. В таком случае, функция
производная которой равна -
монотонно убывает при изменении
от 0 до
проходя по разу через каждое значение от 1 до -1. Отсюда ясно, что промежутку
изменения параметра взаимно однозначно отвечает верхняя часть нашей окружности. Аналогичное утверждение можно сделать относительно промежутка
значений параметра и нижней части окружности, ввиду того, что [см. (18)]
Рис. 61.
Теперь вычислим, по формуле (4) п° 329, длину дуги
считая, что точка М отвечает значению
параметра. Принимая во внимание (17) и (16), мы получим
Это показывает, что
совпадает с углом
выраженным в радианах, а тогда:
В то же время, длина всей окружности по нашей формуле оказывается равной
следовательно, введенное нами число тождественно с тем, которое рассматривается в геометрии.