Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

280. Формулы приведения.

Так как интеграл от биномиального дифференциала всегда может быть [см. (2)] преобразован к виду

то в дальнейшем ограничимся рассмотрением именно этих интегралов.

Установим ряд формул приведения, с помощью которых интеграл (3) может быть, вообще говоря, выражен через подобный же интеграл где разнятся от на произвольные целые числа.

Интегрируя тождества

найдем

Отсюда получаются первые две формулы

которые позволяют увеличить показатель или q на единицу (если только он отличен от -1).

Разрешая эти равенства относительно соответственно на придем к формулам

которые позволяют уменьшать показатель или q на единицу (если только сумма отлична от -1).

Если ни , ни ни не будут целым числом (так что интеграл не выражается в конечном виде через элементарные функции), то формулы приведения могут последовательно прилагаться без всякого ограничения. С их помощью параметры и q могут быть сделаны, например, правильными дробями.

Остановимся на более интересном для нас случае, когда интеграл берется в конечном виде. При этом можно предположить, что целым оказывается показатель или так как случай целого подстановкой приводит к случаю целого

Тогда последовательное применение выведенных формул позволяет свести этот целый показатель, или к 0 (если он был положительным) или (если он был отрицательным). Этим обычно либо заканчивается интегрирование, либо - во всяком случае - значительно упрощается.

Примеры. 1) Рассмотрим интеграл

Здесь поэтому при нечетном оказывается целым числом а при четном - число , так что во всех случаях интеграл в конечном виде берется. Подстановкой сведем его к интегралу

Если, считая применить к этому последнему интегралу формулу (IV), то получим

или, возвращаясь к данному интегралу,

Эта формула, уменьшая значение на 2, последовательно сводит вычисление либо к

при нечетном, либо же к

при четном.

Пусть теперь так что . Применим на этот раз формулу (II)

откуда

С помощью этой формулы мы имеем возможность уменьшать значение на 2 и, последовательно, свести вычисление либо к

при нечетном, либо же к

при четном.

2) Если к интегралу

применить формулу (I):

то, возвращаясь к получим уже известную нам [271, (6)] формулу приведения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление