444. Пример непрерывной функции без производной.

Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

где есть нечетное натуральное число причем . Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией следовательно [430, 431, теорема 1], сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от х. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.

Мы приведем более простой пример ван-дер-Вардена (В. L. van der Waerden), построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые заменены колеблющимися ломаными.

Итак, обозначим через абсолютную величину разности между числом х и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида где s - целое; она непрерывна и имеет период 1.

Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис. 62, а; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ± 1.

Положим, затем, для

Эта функция будет линейной в промежутках вида она также непрерывна и имеет период Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис. например, изображен график функции Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны

Рис. 62.

Определим теперь, для всех вещественных значений х, функцию равенством

Так как, очевидно, так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.

Остановимся на любом значении Вычисляя его с точностью до по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида;

где целое. Очевидно, что замкнутые промежутки

оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка;

ясно, что с возрастанием и варианта

Составим теперь отношение приращений

Но, при число есть целое кратное периода функции так что соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же то функция линейная в промежутке будет линейной и в содержащемся в нем промежутке причем

Таким образом, имеем окончательно

иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном и нечетному целому числу при четном Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремиться не может, так что наша функция при конечной производной не имеет.