444. Пример непрерывной функции без производной.
Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:
где
есть нечетное натуральное число причем
. Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией
следовательно [430, 431, теорема 1], сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от х. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.
Мы приведем более простой пример ван-дер-Вардена (В. L. van der Waerden), построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые
заменены колеблющимися ломаными.
Итак, обозначим через
абсолютную величину разности между числом х и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида
где s - целое; она непрерывна и имеет период 1.
Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис. 62, а; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ± 1.
Положим, затем, для
Эта функция будет линейной в промежутках вида
она также непрерывна и имеет период
Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.
например, изображен график функции
Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны
Рис. 62.
Определим теперь, для всех вещественных значений х, функцию
равенством
Так как, очевидно,
так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией
то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция
всюду непрерывна.
Остановимся на любом значении
Вычисляя его с точностью до
по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида;