Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах

445. Действия над степенными рядами.

Этот п° мы посвятим обзору - в основном уже известных - действий над степенными рядами, что послужит отправной точкой для дальнейшего продвижения. Рассмотрим два ряда:

Предполагая радиусы сходимости обоих рядов отличными от О, обозначим через наименьший из них. Тогда для как мы

знаем [364, 4°; 389], эти ряды можно почленно складывать, вычитать и перемножать, причем результаты вновь располагаются по степеням х:

Допустим, что ряд (2) тождествен с (1); тогда получится, что внутри промежутка сходимости степенной ряд можно следующим образом возводить в квадрат:

Если последний ряд, по указанному выше правилу, снова помножить на ряд (1) и повторить это неопределенное число раз, то придем к заключению, что степенной ряд, внутри промежутка сходимости, можно вообще возводить в степень с любым натуральным показателем причем результат представляется также в виде степенного ряда:

Коэффициент зависит от коэффициентов исходного ряда и - как это следует из (3)- получается из них лишь с помощью сложений и умножений. Это замечание нам ниже понадобится.

Теперь особо остановимся на сложении бесконечного множества степенных рядов, с чем нам часто придется иметь дело ниже. Итак, пусть дана бесконечная последовательность степенных рядов

из них составим повторный ряд

Если при выбранном значении х сходится ряд, полученный отсюда заменой всех членов их абсолютными величинами, то сходится и ряд

(5), причем сумма его может быть разложена в степенной ряд просто путем объединения подобных членов:

Доказательство исчерпывается ссылкой на теорему 3 п° 393.

Применение этой важной теоремы осветим примерами.

Примеры.

1) Разложить функции

(считая в ряды по степеням х.

(а) Имеем

и, подставляя и изменяя порядок суммирования,

Так как повторный ряд

сходится, то перестановка суммирований оправдана.

(б) Аналогично

2) Исходя из разложения функции на простые дроби [441, 9)], представим ее теперь степенным рядом. Для упрощения заменим лишь х на так что

Если то для любого

Ввиду положительности всех членов, по теореме сразу получаем:

Таким образом, при имеем:

3) Совершенно аналогично, исходя из разложения функции на простые дроби [431, 10], получим разложение в степенной ряд

Впоследствии 449 мы дадим и другое выражение для коэффициентов разложений в 1) и 2).

4) Теорема сохраняет свое значение и в том случае, когда складываемые в бесконечном количестве ряды вырождаются в обыкновенные конечные многочлены. Для примера выведем логарифмический ряд, исходя из биномиального и показательного путем следующего рассуждения.

При и произвольном а имеем [407 (22)]:

Фиксируя х, станем рассматривать члены этого ряда как целые многочлены относительно а. Так как ряд

сходится, как легко убедиться с помощью признака Даламбера, то в предшествующем ряде, согласно теореме, можно объединить подобные члены:

С другой стороны, очевидно,

Так как оба разложения должны быть тождественны, то, приравнивая коэффициенты при а, получим:

Заметим, что доказанная теорема непосредственно распространяется и на кратные ряды, например на ряд

Действительно, стоит лишь заменить двойной ряд простым, чтобы свести дело к уже рассмотренному случаю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление