Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

446. Подстановка ряда в ряд.

Рассмотрим функцию которая в промежутке разлагается в степенной ряд (1). Пусть, кроме того, дана функция также разлагающаяся в степенной ряд

для значений у в промежутке .

Если , то и при достаточно малом х будет , так что имеет смысл сложная функция

При единственном условии: , эту функцию в окрестности точки можно разложить в ряд по степеням х, если подставить в (6) вместо у ряд (1) и, произведя все возведения в степень согласно (4), объединить затем подобные члены.

Доказательство. Считая рассмотрим ряд

по непрерывности суммы его [437, 2°], ввиду для достаточно малых х выполнится неравенство

так что ряд

будет сходящимся.

Полагая, аналогично (4),

предыдущий ряд можно переписать в виде

Так как получается из с помощью сложений и умножений [445] совершенно так же, как из то очевидно: Поэтому для упомянутых значений х сходится, и ряд

а тогда к ряду

применимо последнее утверждение предыдущего п°, что и доказывает теорему.

Область изменения х, для которой наше рассуждение обеспечивает возможность разложения функции в ряд по степеням х, характеризуется, таким образом, кроме само собою разумеющегося неравенства еще неравенством (7). При нет надобности вводить первое ограничение, при отпадает второе.

В большинстве приложений теоремы достаточно знать, что разложение имеет место для малых значений Если представляет интерес вся область применимости полученного ряда, то этот вопрос требует отдельного исследования.

Для примера проведем его в простом случае. Рассмотрим функцию

в промежутке и, вместо у, подставим функцию Сложная функция

имеет смысл, лишь если

Ее разложение по степеням х нам известно

этот ряд сходится для - По совокупности, равенство

имеет место при условии, что

Интересно сопоставить это с тем, что дает наше рассуждение. В согласии с ним надлежало бы потребовать, чтобы было [см. (7)]

Как мы видели, полученное равенство на деле применимо в более широкой области.

И здесь надлежит отметить возможность дальнейших обобщений теоремы. Пусть, например, дан двойной ряд

сходящийся при и два ряда

сходящиеся при тогда, при условии: , сложную функцию в окрестности можно разложить в ряд по степеням х, если подставить вместо у и z соответствующие ряды и, выполнив возведения в степень и умножения, сделать приведение подобных членов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление