Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

447. Примеры.

1) Найти несколько первых членов разложения функции по степеням х.

Имеем для

[Подобного типа задачи близки к тем, которые рассматривались уже в 125.] 2) Поставим себе задачей получить биномиальный ряд, исходя из логарифмического и показательного рядов.

При и любом а, очевидно, будет:

Вид нескольких первых коэффициентов устанавливается сразу. Коэффициент же общего члена, содержащего можно получить из таких соображений. Непосредственно ясно, что он представляет собой целый многочлен относительно а, степени Так как при в разложении члена с нет, то

этот многочлен в названных точках обращается в 0, а следовательно, имеет вид:

При коэффициент при есть отсюда и окончательно:

3) Пусть будет некоторая функция, разлагающаяся в ряд по степеням х, без свободного члена:

тогда, по общей теореме, для тех же значений х разлагается в ряд и функция причем свободный член, очевидно, равен 1. Требуется найти это разложение.

Покажем, как для этого может быть использован метод неопределенных коэффициентов. Пусть

Продифференцировав это равенство, найдем:

или, подставляя вместо множителей левой части их разложения,

Это условие приводит к такой системе уравнений:

из которой неизвестные коэффициенты последовательно и определятся.

Для примера приложим указанный прием к решению следующей задачи (Вейерштрасс).

Доказать, что разложение функции

начинается членами и что все его коэффициенты по абсолютной величине меньше единицы.

Напишем в виде

тогда первая часть утверждения становится очевидной. Вторая же часть докажется индуктивно. Допустим, что все коэффициенты со значком, меньшим по абсолютной величине меньше единицы. Так как в данном случае

то из равенств (8) обнаружит, что и

[Предлагается применить указанный здесь метод к примерам 1) и 2).]

4) Те же уравнения (8) могут пригодиться и в другом вопросе. Пусть дано разложение функции

а ищется разложение функции

Легко понять, что коэффициенты а и связаны теми же соотношениями (8), но на этот раз подлежат определению коэффициенты а.

5) Показать, что бесконечное произведение

при достаточно малых х разлагается по степеням х, определить коэффициенты этого разложения.

При произведение сходится и имеет положительное значение; логарифмируя, получим

В частности, этот ряд сходится при замене всех членов в скобках их абсолютными величинами. Отсюда [445] следует, что в окрестности нуля разлагается в ряд по степеням х, а с ним [уже по теореме п° 446] разлагается и выражение

Итак, для достаточно малых х, имеем:

где коэффициенты еще подлежат определению. Проще всего это выполнить, если исходить из очевидного равенства:

которое, воспользовавшись разложением, можно переписать в виде:

По теореме о тождестве степенных рядов, сюда

или

и, окончательно,

6) Возьмем разложения функции в бесконечное произведение [408] и в бесконечный ряд [404] (12)] и приравняем их логарифмы [401, 4°]:

или

Разложив левую и правую части по степеням х [445, 446] и отождествив коэффициенты, придем к равенствам

откуда

Впрочем, ниже [449] мы найдем эти формулы из других соображений.

7) Если функция в промежутке разлагается в степенной ряд (1) и х - произвольная точка этого промежутка, то в ее окрестности функция разлагается в ряд по степеням

Действительно, положим в по общей теореме (меняя лишь роли покуда или можно перейти к разложению по степеням у, т. е. по степеням

Выполнив в ряде все возведения в степень и собрав подобные члены, легко определить и коэффициенты этого разложения:

и, вообще,

Результат этот, ввиду 438, 9°, не является неожиданным.

Мы лишь для простоты взяли исходный ряд расположенным по степеням дело не изменилось бы, если бы функция была дана разложенной по степеням разности

Напомним, что функция которая в окрестности точки разлагается в ряд по степеням называется аналитической в этой точке. Мы доказали, таким образом, что функция, аналитическая в какой-либо точке, будет аналитической и во всех точках некоторой ее окрестности.

Это утверждение распространяется и на случай функции от нескольких переменных.

8) В качестве последнего примера рассмотрим разложение функции

по степеням а, при произвольно фиксированном х. Возможность такого разложения гарантируется нашей теоремой, если только Легко усмотреть, что коэффициентом при будет некий многочлен степени так что

Для определения этих коэффициентов, продифференцируем равенство (9) по а:

Сопоставляя этот результат с (9), легко получить:

Приравниваем теперь коэффициенты при одинаковых степенях а в обеих частях. Мы найдем, прежде всего,

Затем, вообще,

или

Зная первые два многочлена, по этой рекуррентной формуле последовательно можно вычислить остальные.

Бросается в глаза, что многочлены совпадают с первыми двумя многочленами Лежандра, а упомянутая только что формула тождественна с аналогичной формулой (11) п° 320, по которой вычисляются многочлены Лежандра. Отсюда заключаем, что коэффициентами разложения (9) являются именно многочлены Лежандра.

В связи с этим функцию от двух переменных

называют «производящей функцией» для многочленов Лежандра. Разложение (9) с успехом может быть использовано для изучения свойств этих многочленов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление