Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

448. Деление степенных рядов.

Важным примером применения теоремы о подстановке ряда в ряд является вопрос о делении степенных рядов.

Пусть свободный член ряда (1) отличен от 0; представим этот ряд в виде

полагая

Тогда

Последний ряд играет роль ряда (6), причем здесь есть 1. Согласно общей теореме, это выражение может быть разложено по степеням

по крайней мере, для достаточно малых значений х, например для тех, которые удовлетворяют неравенству

Рассмотрим второй степенной ряд

с отличным от 0 радиусом сходимости. Тогда частное

для достаточно малых х может быть заменено произведением

и, следовательно, снова представимо в виде некоторого степенного ряда

Коэффициенты этого ряда проще всего определятся по методу неопределенных коэффициентов, исходя из соотношения

в которых коэффициенты а и предполагаются известными. Перемножив ряды слева по общему правилу [445], мы затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Таким путем получится бесчисленное множество уравнений:

Так как коэффициент предположен отличным от 0, то из первого уравнения сразу получим: затем второе даст нам: . В общем случае, если коэффициентов уже найдены, то уравнение, содержащее единственную неизвестную позволит установить ее значение. Так, последовагельно, уравнениями (10) определяются все коэффициенты частного и притом вполне однозначно.

Примеры. 1) Найти несколько первых членов частного

Уравнения (10) здесь принимают вид:

и т. д.; отсюда Итак,

2) Найти разложение в окрестности нуля, рассматривая как частное разложения которых известны [404, (12) и (13)].

Существование такого разложения наперед известно - по общей теореме. Так как есть функция нечетная, то это разложение содержит только нечетные степени х. Коэффициент при в искомом разложении удобно взять в форме Итак, имеем

и

Очевидно, Для определения остальных чисел приравнивая коэффициенты при слева и справа, получим последовательность уравнений вида:

или, по умножении на

Так как все числа суть целые, то последовательно убеждаемся, что и коэффициенты все целые. Вот значения нескольких первых из них:

Таким образом,

В следующем п° будет указан другой способ вычисления коэффициентов этого разложения и точно установлена область его применимости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление