Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются.

Рассмотрим еще один пример деления, который будет иметь важные приложения:

Согласно общему утверждению п° 448, это частное, по крайней мере для достаточно малых значений х, представляется в виде степенного ряда

Коэффициенты его мы взяли в форме: что (как увидим) сделает более удобным их последовательное определение.

Исходя из соотношения:

приравняем нулю коэффициенты при различных степенях слева. Мы получим уравнения вида

или - по умножении на

Использовав сходство с биномом Ньютона, можно эти уравнения символически записать так:

после возвышения двучлена в степень по обычному правилу и сокращения старшего члена, степени должны быть заменены здесь коэффициентами . Итак, для определения чисел будем иметь бесконечную систему уравнений:

из которых последовательно находим:

1 Так как числа определяются из линейных уравнений с целыми коэффициентами, то все они являются рациональными. Легко установить, в общем виде, что числа с нечетнымй значками (кроме первого) - нули. Действительно, перенося в равенстве (12) член налево, будем иметь в левой части равенства, очевидно, четную функцию

В таком случае ее разложение

не может содержать нечетных степеней х, ч. и тр. д.

Для чисел с четными значками введем более привычное обозначение, полагая

так что

Эти именно числа и называют числами Бернулли, по имени Якова Бернулли, который впервые пришел к ним при изучении сумм степеней

последовательных натуральных чисел с натуральными же показателями. Числа Бернулли играют важную роль во многих вопросах анализа.

Итак, заменяя для удобства х на окончательно имеем разложение

действительное для достаточно малых значений х.

В 445, 3) мы уже имели разложение

где через была обозначена сумма ряда Заменив и в равенстве на перепишем его так:

Оба разложения, разумеется, должны быть тождественны; отсюда

так что все числа оказываются положительными. Так как при очевидно, то из полученной формулы явствует, что числа Бернулли бесконечно возрастают при возрастании их номера.

Отметим попутно полезные выражения, получающиеся для сумм :

в частности [ср. 447, 6)]

Вспомним теперь, что и для мы имели [445], 2)] разложение, коэффициенты которого также зависели от сумм

Заменяя здесь на х и подставляя вместо найденные их выражения через бернуллиевы числа, получим:

Так как про разложение (14) мы знаем, что оно имеет место при 111, то разложение (15) действительно при . Но при левая часть равенства (15) бесконечно возрастает, следовательно, ряд справа не может сходиться ни при ни тем более при его радиус сходимости в точности равен

Отсюда, между прочим, ясно, что таков же будет радиус сходимости ряда (13), между тем как исходный ряд (12) имеет радиус сходимости

Пользуясь тождеством

из (15) легко наново получить разложение для

Оно тождественно с полученным раньше [см. (11)], но его предпочитают писать именно в этой форме потому, что числа Бернулли хорошо изучены, и для них имеются обширные таблицы. Радиус сходимости ряда, представляющего есть это видно теперь из самого способа его получения.

С числами Бернулли связаны и многие другие полезные разложения. Например, так как

то, интегрируя почленно, находим (для

Аналогично, из разложения (16) почленным интегрированием получаем

Из этих разложений легко получить разложение для Ряды эти полезны при составлении логарифмо-тригонометрических таблиц.

Вернемся, в заключение к расходящемуся ряду

который мы рассматривали в задаче 6) n° 425. Там была установлена суммируемость этого ряда по методу Чезаро порядка, но самой «обобщенной суммы» (обозначим ее через мы не нашли; выполним это сейчас. Впрочем, мы просуммируем ряд по методу Пуассона - Абеля, что - как мы знаем [424, 2)] - должно привести к тому же результату.

При будет и, суммируя прогрессию, получим

Используя разложение (12), для достаточно малых будем иметь

Продифференцируем оба ряда почленно к раз; для степенного ряда справа мы опираемся на теорему 8° п° 438, она же служит основанием и для дифференцирования ряда слева, который тоже оказывается степенным, если ввести переменную . В результате найдем

Устремим теперь к 0, а следовательно, к 1. Слева в пределе получится именно искомое , а справа - свободный член

Вспоминая, что числа с нечетными значками, бблыпими единицы, все нули, а с четными - приводятся к числам Бернулли, окончательно приходим к формулам:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление