Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

450. Решение уравнений рядами.

Мы еще раз вернемся к вопросу об определении переменной у, как функции от х, из неразрешенного уравнения:

[ср. 206 и 442!], но в иной постановке:

Предположим, что функция в окрестности точки разлагается в ряд по степеням причем постоянный член

в нем равен 0, а коэффициент при отличен от Тогда и функция определяемая уравнением (17) в окрестности указанной точки, также разлагается в ряд по степеням вблизи

Иными словами, если функция фигурирующая в левой части уравнения (17), будет аналитической в точке то и функция определяемая уравнением, оказывается аналитической в точке Таким образом, здесь речь идет уже не только о существовании или вычислении значений искомой функции, но и об ее аналитическом представлении.

Доказательство. Без умаления общности можно принять это, по существу, сводится к тому, что в качестве новых переменных мы выбираем разности но сохраняем старые обозначения. Если выделить член с первой степенью у, то, перенося его в другую часть и деля на коэффициент при нем, можно будет переписать данное уравнение так:

Ряд для функции у от х будем искать в виде:

Прежде всего, если подобное разложение в окрестности нуля имеет место, то коэффициенты его вполне однозначно определяются самим соотношением (18).

Действительно, заменяя в нем у (при указанном предположении) разложением (19), получим:

По теореме п° 446, для достаточно малых х, справа здесь можно выполнить все возведения в степень и сделать приведение подобных членов. Если после этого воспользоваться теоремой о тождестве степенных рядов и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, то мы придем к (бесконечной!) системе уравнений:

относительно искомых коэффициентов . Так как в (18) справа все члены, содержащие у, не ниже второго измерения (т. е. содержат либо высшую степень самого у, либо у в первой степени, но умноженное на какую-либо степень , то в уравнении системы (20) коэффициент оказывается выраженным через коэффициенты с меньшими номерами (и известные коэффициенты с). Этим и обеспечивается возможность определять коэффициенты последовательно один за другим:

Попутно сделаем такое, важное для дальнейшего, замечание. Так как при раскрытии скобок в (18а) над буквами а и с не приходится производить иных действий, кроме сложения и умножения, то в правых частях уравнений (20) мы будем иметь целые многочлены относительно этих букв, с заведомо положительными (даже - натуральными) коэффициентами. А тогда и в формулах (21) справа также будут целые многочлены с положительными же коэффициентами относительно букв с.

Составим теперь ряд (19) с коэффициентами а, вычисленными именно по этим формулам. Про него можно сказать, что он «формально» удовлетворяет соотношению (18а). Если бы была удостоверена сходимость этого ряда для достаточно малых х, то уже не было бы надобности доказывать, что для представляемой им функции условие (18) выполнено, ибо в этом случае равенства (20), которым коэффициенты ряда удовлетворяют, вполне равносильны (18а). Итак, весь вопрос теперь сводится к доказательству того лишь, что ряд (19), коэффициенты которого определяются формулами (21), сходится в некоторой окрестности нуля.

Рассмотрим, одновременно с (18), аналогичное соотношение

где все коэффициенты положительны и, кроме того, удовлетворяют неравенствам

Построим для него - пока формально - ряд, аналогичный (19):

причем коэффициенты его, наподобие (21), определим формулами:

Самый состав этих формул, ввиду отмеченного выше, обеспечивает положительность чисел Кроме того, сопоставляя с (21) и учитывая (22), видим, что и (при всех

Если бы удалось выбрать положительные коэффициенты так, чтобы не только выполнялись условия (22), но и чтобы соответственно построенный ряд (19 имел отличный от нуля радиус сходимости, то, ввиду (23), это же было бы справедливо и для ряда (19) - и теорема была бы доказана. Займемся же выбором чисел

Существуют такие положительные числа что двойной ряд

будет сходящимся, так что его общий член стремится к О и, следовательно, ограничен:

Положим в согласии со сказанным, рассмотрим соотношение:

или, наконец,

Здесь оказьшается возможным фактически найти функцию удовлетворяющую уравнению - именно ту ее ветвь, которая обращается в 0 при Решая квадратное уравнение, мы получим (считая

Если, для упрощения записи, ввести обозначение

то выражение для у можно написать в виде:

откуда уже ясно, если воспользоваться биномиальным рядом, что оно для разлагается по степеням х. Так как упомянутое разложение должно быть тождественно с (19, то этим и завершается доказательство сходимости ряда (19, а значит, и ряда (19), по крайней мере для

Отметим, что теорема устанавливает лишь возможность разложения у по степеням х (или, в общем случае, по степеням вблизи Определение точного промежутка сходимости этого разложения требует особого исследования.

Подобным же образом можно трактовать и общий случай, когда система функций определяется из системы уравнений.

Замечательный метод рассуждения, примененный выше, принадлежит Коши. Сущность его заключается в замене данных степенных рядов, с одной или несколькими переменными, - более удобными для исследования «мажорантными» рядами, все коэффициенты которых положительны и, соответственно, превосходят абсолютные величины коэффициентов данных рядов. В связи с этим и сам метод получил название метода мажорантных рядов. Им часто пользуются в теории дифференциальных уравнений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление