Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

451. Обращение степенного ряда.

Как частный случай решенной задачи, рассмотрим теперь вопрос об обращении степенного ряда. Пусть функция в некоторой окрестности точки представляется рядом, расположенным по степеням Обозначая свободный член (выражающий значение у при через напишем это разложение в виде

При в окрестности определяется отсюда как функция от у, разлагающаяся, в свою очередь, в ряд по степеням Таким образом, если у является аналитической функцией от х в точке то в соответствующей точке {при указанном условии) и обратная функция будет аналитической.

Все это непосредственно вытекает из доказанной теоремы. Положив для простоты напишем соотношение, связывающее

у с х, по примеру (18), в виде

Тогда коэффициенты искомого разложения

последовательно определятся из уравнений:

Например, зная разложение синуса

можно найти разложение

(мы выписываем лишь нечетные степени у, ибо, ввиду нечетности функции наперед ясно, что и обратная функция будет нечетной). Уравнения, определяющие коэффициенты , в этом случае имеют вид:

Другой пример: пусть

отсюда

Коэффициенты определяются последовательно:

так что

Область изменения у, в которой гарантируются существование обратной функции и действительность полученного для нее разложения, может быть установлена из соображений но оказывается обычно очень заниженной. Если,

скажем, в первом из приведенных примеров переписать уравнение, связывающее х и у в форме (18):

и ограничиться х и у, удовлетворяющими неравенствам , т. е. взять то получим и - по формуле (24) -

в то время как истинная область применимости полученного результата есть промежуток

Замечание. Полезно дать себе отчет в значении условия , при котором только и справедливо сформулированное выше утверждение. Пусть но скажем, итак, вблизи (для простоты мы полагаем имеем

так что Обозначая через арифметическое значение корня, видим, что

причем поставленный двойной знак совпадает со знаком х. В силу теоремы п° 50, последний радикал вблизи сам представляется степенным рядом с свободным членом 1. Таким образом, окончательно (если двойной знак перенести налево):

где уже Используя теорему настоящего п° (роль у играет величина мы получим два различных разложения для х, в зависимости от выбранного знака:

и

Обращаем внимание читателя как на двузначность обратной функции, так и на то, что каждая из ее ветвей разлагается уже не по целым, а по дробным степеням переменной у.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление