Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

281. Интегрирование выражений вида ... Подстановки Эйлера.

Переходим к рассмотрению очень важного класса интегралов

Предполагаем, конечно, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением. Мы изучим три подстановки, называемые подстановками Эйлера (L. Euler), с помощью которых всегда можно достигнуть здесь рационализации подинтегрального выражения.

I подстановка приложима в случае, если Тогда полагают

Возводя это равенство в квадрат, найдем (по уничтожении членов в обеих частях) так что

Все остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для определения х получается уравнение первой степени, так что х, а одновременно с ним также и радикал с выражаются рационально через

Если полученные выражения подставить в (4), то вопрос сведется к интегрированию рациональной функции от . В результате, возвращаясь к х, нужно будет положить

II подстановка приложима, если с . В этом случае можно положить

Если возвести в квадрат, уничтожить с в обеих частях и сократить на х, то получим - снова уравнение первой степени относительно х. Отсюда

Подставив это в (4), очевидно, осуществим рационализацию подинтегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим

Замечание I. Случаи, рассмотренные вьппе приводятся один к другому подстановкой Поэтому всегда можно

избежать пользования второй подстановкой.

Наконец, III подстановка пригодна в том случае, если квадратный трехчлен имеет (различные) вещественные корни . Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на линейные множители

Положим

Возводя в квадрат и сокращая на получим и здесь уравнение первой степени так что

Замечание II. При сделанных предположениях радикал (считая для определенности, скажем, можно преобразовать к виду так что в рассматриваемом случае

и мы, в сущности, имеем дело с дифференциалом изученного в п° 278 типа. III подстановка Эйлера, которую можно записать, в форме

тождественна с подстановкой, уже указанной в 278.

Покажем теперь, что I и III подстановок Эйлера одних достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подинтегрального выражения в (4) во всех возможных случаях. Действительно, если трехчлен с имеет вещественные корни, то, как мы видели, приложима III подстановка. Если же вещественных корней нет, т. е. то трехчлен

при всех значениях переменной х имеет знак а. Случай нас не интересует, ибо тогда радикал вовсе не имел бы вещественных значений. В случае же применима I подстановка.

Эти соображения приводят вместе с тем к общему утверждению: интегралы типа (4) всегда берутся в конечном виде, причем для представления их, кроме функций, через которые выражаются интегралы от рациональных дифференциалов, нужны еще лишь квадратные корни.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление