Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

455. Функции комплексной переменной.

Пусть комплексная переменная принимает всевозможные значения из некоторого множества которое геометрически интерпретируется, как область (открытая или нет) в комплексной плоскости. Если с каждым значением z из области сопоставляется одно или несколько значений другой комплексной переменной то последнюю называют (соответственно, однозначной или многозначной) функцией от z в области и пишут:

Примерами однозначных функций (и притом - во всей комплексной плоскости) могут служить: или вообще - целая рациональная функция, т. е. целый многочлен

с произвольными комплексными коэффициентами Дробная рациональная функция, т. е. несократимое частное двух многочленов, также однозначно определена во всей плоскости, но в точках, отвечающих корням знаменателя, она обращается в бесконечность. В качестве примеров неоднозначных функций назовем Ниже, в 457 - 460 мы изучим другие важные функции комплексной переменной.

В последующем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать однозначные функции.

Если есть функции от в области то ее составляющие и, очевидно, также будут функциями от z или - что то же - от х, у в соответствующей области (которая геометрически изображается той же фигурой, что и

Например, для вещественных функций или имеем, соответственно:

для функции очевидно,

Пусть с будет точкой сгущения области Говорят, что функция при стремлении z к с имеет предел если для каждого числа найдется такое число 60, что лишь только

Записывают этот факт, как обычно:

Легко перефразировать это определение для случая, когда с (или С) есть можно выразить его «на языке последовательностей».

Если то [как нетрудно вывести из п° 454] предыдущее соотношение равносильно таким двум:

Непрерывность функции в какой-либо точке области определяется равенством:

Она, очевидно, равносильна непрерывности обеих составляющих в точке

Таким образом, вспоминая только что приведенные выражения для и составляющих видим, что эти функции непрерывны для всей плоскости комплексной переменной. Аналогично, оказывается непрерывным повсюду, исключая отрицательную часть вещественной оси.

Конечно, непрерывность может быть устанавливаема и непосредственно из комплексных соображений. Например, для функции она сразу следует из неравенства

Для функции имеем:

При достаточной близости z к значения z будут ограничены некоторой постоянной: так что

откуда и следует требуемое заключение.

Легко теперь доказать непрерывность целой и дробной рациональной функции (в последнем случае - исключая корни знаменателя).

Определение производной для функции в точке имеет тот же вид, как в обычном дифференциальном исчислении:

Например, для функции имеем

так что, переходя к пределу при получаем снова знакомую формулу:

Формула п° 94 для производной обратной функции и все правила дифференцирования пп° 97, 98 переносятся без изменений. Аналогично устанавливается и понятие производных высших порядков.

Упомянем еще о рядах:

членами которых являются функции от комплексной переменной z в одной и той же области

Здесь, прежде всего, может быть установлено понятие равномерной сходимости в тех же терминах, что и в 428. В случае комплексных функциональных рядов убеждаться в равномерной сходимости также можно по наличию положительного мажорантного ряда, так как признак Вейерштрасса сохраняет силу и здесь. Из теорем о функциональных рядах нам понадобится в дальнейшем теорема о почленном предельном переходе в равномерно сходящемся ряде 433, теорема 4; доказывается она так же, как и выше.

Теперь мы обращаемся к рассмотрению, в частности, степенных рядов, которые в теории функций комплексной переменной играют исключительно важную роль. Им мы посвятим особый п°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление