Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

457. Показательная функция.

Мы видели в 404 (11), что при произвольном вещественном х имеет место разложение

Если заменить в этом ряде вещественную переменную х комплексной переменной то получится ряд про который мы уже знаем [456], что он сходится, т. е. имеет определенную конечную сумму во всей плоскости комплексной переменной. Его сумму и принимают, по определению, за значение показательной функции при любом комплексном z, т. е. полагают

Это определение, как мы видели, не противоречит обычному определению для случая вещественного показателя и является естественным его обобщением.

Если воспользоваться правилом умножения степенных рядов, то, как и в 390, 6), легко убедиться, что при любых комплексных значениях z и z будет

так что это характерное свойство показательной функции оказывается соблюденным и в комплексной области.

Функция непрерывна во всей плоскости, больше того - она имеет производные всех порядков; почленно дифференцируя определяющий ее ряд, получим

как и раньше.

Пусть , где х и у - вещественные числа; заменяя в на на будем иметь

Займемся теперь особо степенью с чисто мнимым показателем. Если в основном определении (3) подставить вместо z, то получим

или, отделяя вещественную часть от мнимой,

В этих рядах мы узнаем разложения [404, (12) и (13)] и, таким образом, приходим к замечательной формуле

которую впервые установил Эйлер; отсюда, например,

Итак, если

мы видим, что

Так как при любом вещественном х, то отлично от нуля при любом комплексном

Заменяя в (5) у на -у, путем сложения и вычитания обеих формул, получим соотношения

выражающие тригонометрические функции от вещественного аргумента через показательные функции от чисто мнимых аргументов. Мы еще вернемся к этому замечательному факту ниже.

Если в равенстве (6) заменить у на то значение правой (а значит, и левой) части равенства не изменится; иными словами,

и показательная функция оказывается периодической, с чисто мнимым периодом

Легко показать, что, кроме периодов вида (к - целое), других периодов функция иметь не может. В самом деле, если то (полагая Пусть, скажем, так что [см. (6)] отсюда а затем: следовательно,

Теперь лишь, когда мы знаем, что становится понятным, почему разложение функции в степенной ряд [449 (12)] имеет радиус сходимости хотя на вещественной оси у функции нет особенностей, которые могли бы это мотивировать, но на мнимой оси есть точки, где функция обращается в бесконечность, и ближайшими из них к началу как раз и будут точки лежащие от него на расстоянии

В связи с обобщением показательной функции на случай любого комплексного показателя, вспомним об одной интересной функции, которую мы рассматривали в 138, 407:

Невозможность разложить ее по степеням х в какой бы то ни было окрестности нуля, несмотря на непрерывность самой функции со всеми производными вдоль вещественной оси, включая точку становится непосредственно очевидной при переходе к комплексной переменной Действительно, функция при не имеет даже предела, ибо, например, при приближении z к нулю вдоль мнимой оси, когда , будет:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление