Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

458. Логарифмическая функция.

Возьмем любое комплексное число отличное от 0, и поставим себе задачей найти число z, удовлетворяющее уравнению:

(при это уравнение, как мы знаем, не имеет решений). Такое число называется (натуральным) логарифмом и обозначается символом

Если и положить то, ввиду (6), уравнение (8) распадается на такие:

откуда

Мы приходим к заключению, что логарифм (при всегда существует; он равен

и, таким образом, оказывается многозначным. Впрочем, это легко было предвидеть, исходя из периодичности показательной функции. Взяв к получим так называемое главное значение логарифма:

которое характеризуется тем, что его мнимая составляющая содержится в промежутке

Например, имеем

При переменном формула (10) выражает главную ветвь многозначной логарифмической функции Другие ветви получаются при различных целых значениях к по формуле

Легко видеть, что функция (10) непрерывна на всей плоскости комплексной переменной за исключением начальной точки и отрицательной части вещественной оси. Разрыв при неустраним, ибо при очевидно, Иначе обстоит дело с отрицательными вещественными значениями Разрыв здесь создается, в некотором смысле, искусственно из-за нашего условия брать в промежутке . Когда при , то если же при этом то Если бы от главной ветви: во второй четверти мы перешли к другой ветви: - в третьей, то непрерывность была бы восстановлена. Таким образом, желая избегнуть многозначности и расчленяя многозначную функцию на однозначные ветви, мы тем самым для каждой отдельной ветви создаем разрывы. Наоборот, одна ветвь в другую переходит непрерывным образом. В этой связности различных ветвей многозначной функции и заключается замечательная особенность комплексной плоскости, не имеющая аналога в многозначных вещественных функциях, определенных на вещественной оси.

По общей теореме о производной обратной функции, имеем (исключая точки разрыва)

Заменив на рассмотрим функцию Тогда

Отсюда следует, что для достаточно малых (по абсолютной величине) значений функция разлагается в ряд по степеням

Производная от этой функции по представится рядом:

в то же время, ввиду (11), она выразится и так:

Сравнивая эти два разложения, видим, что

откуда

Итак, окончательно, в окрестности нуля имеем разложение:

Легко проверить, что полученный ряд имеет радиус сходимости . Мы видели, что при достаточно малых z, его сумма будет главное значение логарифма: будет ли это так и во всем круге

Так как ряд (12) формально удовлетворяет равенству

то он и фактически ему удовлетворяет, покуда сходится. Таким образом, во всем круге сумма ряда (12), наверное, представляет собой одно из значений весь вопрос теперь в том, всегда ли это будет именно главное значение.

Если , так что точка, изображающая число лежит внутри круга радиуса 1, с центром в точке , то лежит между , другие значения лежат в промежутках

или

Мнимая составляющая суммы ряда (12) и есть [см. (9)]. Для достаточно малых она дает главное значение т. е. содержится между ; в то же время, как непрерывная функция от а и с, она не может перескочить в другие указанные промежутки, следовательно, при всех равна именно главному значению Этим доказано, что равенство (12) имеет место во всем круге .

Заменяя в на - и вычитая полученный ряд из ряда (12), получим полезное разложение

которое годится для .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление