Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

461. Примеры.

В этом п° на нескольких примерах мы покажем, какие услуги оказывает вещественному анализу комплексная переменная и элементарные функции от нее.

1) Последовательные производные функции легко вычисляются, если представить ее в виде:

Именно,

Например,

Одновременно, очевидно, получаются и последовательные производные функции [ср. 116, 8) и 118, 4)].

2) Формулы Эйлера, выражающие косинус и синус через показательную функцию, могут быть многообразно использованы. Например, желая найти сжатое выражение для суммы

можно свести дело просто к суммированию геометрической прогрессии:

3) Целые положительные степени а также произведения таких степеней можно представить линейными комбинациями синусов и косинусов кратных дуг. Выполнить это легко с помощью тех же формул Эйлера, развернув выражения

по биному Ньютона. Например,

Можно установить и общие формулы:

причем в формуле (в) последний член имеет вид

смотря по тому, будет ли или .

Подобные преобразования выгодны при интегрировании [ср. 287].

4) На комплексные функции от вещественной или комплексной переменной распространяются простейшие формулы интегрального исчисления (относящиеся к разысканию первообразных).

Пусть требуется найти интегралы:

Эта задача равносильна нахождению интеграла:

который - по элементарной формуле - равен

Приравнивая порознь вещественные и мнимые, получим искомые интегралы [ср. 271, 6)].

Формулу для вычисления интеграла типа

где - целый многочлен [271, 4)], можно распространить и на случай комплексного а. Тогда к ней приведутся не только интегралы

но и интегралы

5) Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями объединяет многие формулы интегрального исчисления, казавшиеся совершенно различными, и позволяет устанавливать новые формулы. Например, интегралы

или

приводятся один к другому заменой х на

6) Отделяя вещественную и мнимую части в известных комплексных разложениях, можно иной раз просто получить интересные разложения в вещественной области.

(а) Возьмем, при прогрессию

и положим Справа получим ряд

а слева - выражение

Приравнивая вещественные и мнимые составляющие в обеих частях равенства (и сокращая на ), придем к разложениям:

6) Аналогично поступив с логарифмическим рядом:

получим для [ср. 440, 11)]:

Пусть так как при ряды справа продолжают сходиться [385, 2)], то можно, воспользовавшись теоремой Абеля [437, 6°], перейти здесь к пределу при Слева получим в первом случае: , а во втором: Итак, имеем:

[В третьем томе курса мы встретимся со многими замечательными тригонометрическими разложениями.]

7) В п° 447, 8) мы имели разложение

где - многочлены Лежандра. Изменяя х между -1 и положим здесь

Заменим теперь на мы получим

Перемножив эти два ряда по обычному правилу и приравняв коэффициенты при а в обоих разложениях, мы придем к выражению для

Скобки теперь можно заменить последовательно на пО,

Так как все коэффициенты здесь положительны, то совершенно очевидно, что наибольшего значения это выражение достигнет при т. е. при Таким образом, воспользовавшись соображениями из области функций комплексной переменной, мы нашли интересный результат, всецело относящийся к вещественной области: при изменении х в промежутке все многочлены Лежандра своего наибольшего значения достигают на конце

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление