Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

463. Определения.

Перейдем теперь к общим формулировкам и определениям. Пусть дан числовой ряд

(а) Если его частичные суммы поочередно то меньше, то больше некоторого числа А, т. е. если дополнительный член, определяемый формулой

оказывается знакопеременным, то говорят, что ряд (4) обвертывает число А.

Простое равенство

делает очевидным, что это определение равносильно такому:

(б) Ряд (4) называется обвертывающим число А, если, во-первых, этот ряд - знакопеременный и, во-вторых, дополнительный член формулы (5) меньше числа по абсолютной величине и имеет одинаковый с ним знак. В предыдущем п° мы уже имели дело с такими рядами: ряд (1) явно был обвертывающим для (при любом а ряд (2) - обвертывающим для функции определенной в 2) (тоже при

Заметим, что в случае расходимости ряда (4) он может одновременно обвертывать и бесконечное множество чисел А. Например, ряд

с частичными суммами очевидно, обвертывает каждое из чисел промежутка

Свойство обвертывающего ряда, сформулированное в определении часто делает его ценным средством для приближенного вычисления числа А, но само собою ясно, что далеко не всякий ряд, обвертывающий число А, может служить для этой цели.

Пусть, вместо ряда (4) с постоянными членами и числа А, имеем функциональный ряд

и некую функцию причем все функции заданы в одной и той же области Только что приведенные определения числового ряда, обвертывающего данное число, естественно распространяются и на случай функционального ряда, обвертывающего данную функцию. Не останавливаясь на этом, мы дадим новое определение, относящееся специально к случаю, когда члены ряда, подобно (6), содержат еще параметр х, область изменения которого У имеет в качестве точки сгущения конечное или бесконечное число Как всегда, дополнительный член определим равенством

(в) Ряд (6) называется асимптотическим разложением вблизи функции если при любом фиксированном

Этот факт записывается так:

Ввиду

и

как следствие из (7), получается, что

Легко доказывается такое утверждение:

Если ряд (6) обвертывает функцию причем выполняется (8), то названный ряд служит и асимптотическим разложением функции вблизи Действительно, имеем

так что

Тогда из предположения (8) непосредственно вытекает (7).

Оба ряда (1) и (2), приведенные выше в виде примеров, служат асимптотическими разложениями соответствующих функций, первый - вблизи а второй - вблизи

В последующем изложении нам, как правило, предстоит иметь дело с асимптотическими разложениями вида

вблизи Напомним, что смысл написанного соотношения состоит лишь в том, что, как бы ни было фиксировано всегда

или - подробнее

Таким образом, для «больших» х имеет место приближенная формула

«качество» которой характеризуется равенством (10).

Если переписать это равенство так:

то станет ясна единственность асимптотического разложения, вида (9), функции - конечно, в предположении, что она вообще допускает такое

разложение. По формуле (10) все коэффициенты последовательно определяются вполне однозначно!

Обратное утверждение, однако, неверно: различные функции могут иметь одно и то же асимптотическое разложение. Например, известно, что при поэтому, очевидно, все функции вида будут иметь то же асимптотическое разложение, что и функция

Замечание. Иногда для удобства мы будем писать

где - функции, определенные в разумея под этим, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление