Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок.

Эйлеровы подстановки, кажущиеся столь искусственными, могут быть все получены из наглядных геометрических соображений.

Рассмотрим кривую второго порядка

Если взять на этой кривой произвольную точку так что

то проходящая через нее секущая пересечет кривую еще только в одной точке Координаты последней найдутся простым вычислением. Исключая у из уравнений кривой и секущей, получим

откуда, с учетом (5),

или - по сокращении на

Таким образом, абсцисса нею и ордината у второй точки пересечения выражаются рациональными функциями от переменного углового коэффициента При этом очевидно, что, надлежаще изменяя можно заставить точку описать всю кривую. Теперь ясно, что зависимость

и определит ту подстановку, которая заведомо рационализирует подинтегральное выражение в случае (4).

Пусть трехчлен с имеет вещественные корни это значит, что наша кривая пересекает ось х в точках взяв, например, первую из них за точку придем к III подстановке Эйлера

Если с то кривая пересекает ось у в точках взяв одну из них за точку получим II подстановку Эйлера

Наконец, в сущности, в том же порядке идей получается и I подстановка Эйлера, лишь за точку мы принимаем бесконечно удаленную точку кривой. Именно, предполагая О (в этом случае кривая будет гиперболой), рассмотрим асимптоту кривой и станем пересекать кривую прямыми параллельными асимптоте (они будут проходить через упомянутую бесконечно удаленную точку). Каждая такая прямая пересекает кривую во второй точке координаты которой будут рациональными функциями от Отсюда подстановка

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление