Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

464. Основные свойства асимптотических разложений.

Говоря об «асимптотических разложениях», мы здесь и впредь разумеем разложения вида (9). Все рассматриваемые функции предполагаются определенными в области с точкой сгущения

то, очевидно, и

т. е. асимптотические разложения можно складывать и вычитать почленно.

2°. Покажем теперь, что асимптотическое разложение произведения может быть получено путем формального умножения — по «правилу Коши - разложений (11).

Имеем, при любом

и

Перемножая, получим:

где

Это и равносильно утверждению

которое подлежало доказательству.

Если отождествить то получим асимптотическое разложение для квадрата: Так же может быть получено асимптотическое разложение для функции где - любое натуральное число.

3°. Далее, пусть дана некоторая функция аналитическая в точке т. е. разлагающаяся в окрестности этой точки в степенной ряд:

Кроме нее рассмотрим функцию допускающую асимптотическое разложение без свободного члена:

так что при . В таком случае, по крайней мере для достаточно больших х, сложная функция

имеет смысл.

Функция тоже допускает асимптотическое разложение, которое может быть получено из предыдущего разложения, если вместо каждой степени подставить ее асимптотическое разложение и формально выполнить приведете подобных членов

Заметим, прежде всего, что в окрестности точки функция имеет непрерывную (а следовательно - ограниченную) производную, и для любых двух точек этой окрестности будет выполняться неравенство

Обозначим отрезок ряда (12) через

При фиксированном для достаточно больших х, обе функции попадут в упомянутую только что окрестность, так что

при

С другой стороны, на основании известной нам теоремы п° 446, для достаточно больших х:

ввиду предыдущего соотношения такое же равенство может быть написано для что и доказывает справедливость асимптотического разложения

о котором была речь.

Например, если взять

то окажется, что

Интересным приложением этой теоремы о подстановке ряда в ряд является [как и в случае сходящихся степенных рядов, 448] деление асимптотических разложений функций в предположении, что свободный член второго из них отличен от нуля. Так как, по сравнению с п° 448, здесь не приходится привлекать никаких новых идей, мы не будем на этом останавливаться.

4°. Обратимся к интегрированию асимптотического разложения. Пусть функция непрерывна в промежутке допускает асимптотическое разложение

начинающееся членом, содержащим — Тогда для этой функции существует конечный интеграл от любого хгдо и этот интеграл (как

функция от в свою очередь имеет асимптотическое разложение

которое из (13) формально получается почленным интегрированием. Действительно, полагая

при произвольно взятом и любом фиксированном для достаточно больших будем иметь

Если

При получим

где

Так как, в силу (15), для достаточно больших х

то, переходя к пределу при будем иметь (для указанных )

так что

а это, вместе с равенством (16), и доказывает справедливость асимптотического разложения (14),

Можно показать, что наличие в асимптотическом разложении функции члена — (при ) сделало бы невозможным существование конечного интеграла для этой функции от х до — [См. ниже 474.]

Замечание. Любопытно отметить, что формальное почленное дифференцирование асимптотического разложения, вообще говоря, недопустимо. Для примера рассмотрим функцию Так как, при любом

то т. е. асимптотическое разложение функции состоит из нулей. Между тем для производной такое разложение вообще невозможно, ибо не существует даже предела

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление