Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена.

Эта формула играет важную роль в анализе; в частности, ею нередко пользуются для получения конкретных обвертывающих и асимптотических разложений. Мы дадим ее вывод и укажем приложения.

Будем исходить из формулы Тейлора с дополнительным членом в форме определенного интеграла [318]:

где дополнительный член

Возьмем здесь, вместо поочередно функции

одновременно заменяя соответственно на

Мы получим систему равенств:

Исключим из этой системы все производные в правых частях; для этого сложим почленно первое равенство со всеми остальными, умноженными соответственно на числа которые мы выберем так, чтобы было

В результате найдем:

где

или - короче -

где положено

Очевидно, из системы линейных уравнений (17) коэффициенты однозначно определяются один за другим, и притом независимо от выбора функции чисел и Впрочем, эти коэффициенты нам уже известны - это коэффициенты — разложения - по степеням х [449 (12)]. Действительно, если вспомнить символические уравнения:

которым удовлетворяют числа то легко убедиться в том, что именно числа и будут решениями уравнений (17). Из сказанного о числах в п° 449 явствует, что

есть число Бернулли.

Пусть функция рассматривается в конечном промежутке положим где - натуральное число, и, взяв за поочередно числа

для каждого промежутка в отдельности напишем равенство типа (18), с дополнительным членом (18, и все эти равенства почленно сложим. Мы получим:

где дополнительный член

Эта формула и есть формула Эйлера - Маклорена, и притом с дополнительным членом (которого авторы ее, разумеется, не писали). Числу можно давать различные значения, начиная с 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление