Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

466. Исследование дополнительного члена.

Сначала сделаем некоторые замечания относительно функций

Прежде всего, дифференцируя (19), получаем:

Далее, каково бы ни было имеем

Первое ясно по самому виду многочлена [см. (19)], а второе следует из последнего равенства системы (17).

Докажем теперь такое утверждение: функция (четного порядка) не может принимать в промежутке какое-либо значение больше двух раз. Допустим противное; тогда ее производная [см. (23)] (ведь кроме концов промежутка , обращалась бы внутри промежутка в 0 - по теореме - не менее двух раз. В таком случае производная - по той же теореме - должна была бы обращаться в 0 внутри промежутка не менее трех раз, т. е. функция принимала бы внутри этого промежутка одно и то же значение: — не менее трех раз. Так, постепенно понижая порядок функции на две единицы, мы пришли бы к заключению, что функция — (квадратичный двучлен) принимает некоторое значение не менее трех раз, что невозможно! Этим наше утверждение доказано.

Из него вытекает такое важное следствие: функция сохраняет знак в промежутке (0, К), ибо, обращаясь в 0 на концах промежутка она внутри

промежутка больше уже в 0 обратиться не может. Легко установить, какой именно знак сохраняет функция для малых значений значит, и повсюду между О и А) этот многочлен имеет знак младшего члена так как

Таким образом, две последовательные функции четного порядка, сохраняют - каждая — определенный знак в (0, А), но знаки их противоположны! Это замечание нам сейчас понадобится.

Возвращаясь к дополнительному члену будем считать теперь четным числом, и предположим на этот раз, что производные и в промежутке положительны или обе отрицательны.

Из выражения для дважды интегрируя по частям, с учетом (22) и (23) последовательно получаем:

Так как подчеркнутые суммы интегралов в силу сделанных предположений имеют противоположные знаки, то первая из них имеет тот же знак, что и выражение

и меньше его по абсолютной величине. Таким образом, окончательно

Если предположить теперь, что все производные четного порядка сохраняют в промежутке один и тот же знак, и написать вместо конечной формулы (21) бесконечный ряд, учитывая вдобавок значения (20) коэффициентов то получится бесконечный ряд Эйлера - Макларена.

Этот ряд, вообще говоря, расходится (так что знак поставлен здесь условно!). В силу сделанных предположений, он - по крайней мере, начиная с третьего члена - оказывается знакопеременным. Учитывая еще (21, можно сказать, что написанный ряд обвертывает сумму стоящую слева. Если переставить эту сумму и интеграл — изменив при этом знаки всех прочих членов на обратные, то получится ряд, обвертывающий названный интеграл.

Частичные суммы этих рядов позволяют иной раз с большой точностью вычислять сумму зная интеграл, или интеграл — зная сумму. Конечно, во всем этом основную роль играет тот факт, что нам наперед известна оценка дополнительного члена!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление