Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена.

1) Найти приближенное значение суммы слагаемых

положив Так как

и, вообще,

то условия на счет производных четного порядка соблюдены.

Мы продолжим разложение до члена, содержащего так что в дополнительный член выйдет уже в этом случае формула Эйлера - Маклорена

(кликните для просмотра скана)

Находим, далее,

Поэтому с точностью до получаем:

3) Покажем, наконец, как с помощью формулы Эйлера - Маклорена может быть приближенно вычислена сумма бесконечного ряда, сходящегося, но медленно. В виде примера остановимся на ряде:

Положим в общей формуле (21) [и (21]

где - пока любые натуральные числа. Интеграл и производные вычисляются легко; подставляя вместо их выражения, получим:

При фиксированных а и к перейдем здесь к пределу, устремив Легко убедиться, что множитель тоже стремится при этом к некоторому пределу и в результате:

Возьмем теперь конкретно воспользовавшись известными значениями чисел Бернулли [449], окончательно найдем:

Вычисления проведем с 19 знаками после запятой:

Если учесть поправки на округление и дополнительный член, то окажется, что

с точностью до

Этот пример очень поучителен: сумму сходящегося ряда мы вычислили с очень большой точностью по формуле Эйлера - Маклорена, по сути дела прибегнув к частичной сумме расходящегося ряда, обвертывающего число Если бы мы захотели достигнуть того же, пользуясь самим сходящимся рядом, то пришлось бы взять больше миллиарда его членов!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление